Dodekaeder

regelmäßiges Pentagondodekaeder

Das Dodekaeder [ˌdodekaˈʔeːdər] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonische Körper gemeint, nämlich das (regelmäßige) Pentagondodekaeder, ein Körper mit

• 12 (kongruenten) regelmäßigen Fünfecken als Flächen
• 20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen
• 30 (gleich langen) Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist.

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige Pentagondodekaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

• sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Flächenmittelpunkte)
• zehn dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
• fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
• fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende – und parallele – Kanten)

und ist

• inversionssymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaeder- oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe $A_{5}$. Manchmal wird auch diese Untergruppe „Ikosaedergruppe“ genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt $A_{5}\times C_{2}$. Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle).

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

• Dodekaeder - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

• Dodekaeder - Artikel in der deutschen Wikipedia