Lagrange-Formalismus

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Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph-Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen.[1] Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten berücksichtigen lassen. Aus diesem Grund wird der Lagrange-Formalismus verbreitet bei Mehrkörpersystemen (MKS) eingesetzt. Er lässt sich auch auf den relativistischen Fall übertragen und ist auch in der relativistischen Quantenfeldtheorie zur Formulierung von Modellen von Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen weit verbreitet.

Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrange-Funktion

LaTeX:  L = T - V

wobei LaTeX: T die kinetische Energie und LaTeX: V die potentielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen. Man unterscheidet sogenannte Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrange-Gleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrange-Gleichungen bezeichnet werden:

LaTeX: \frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0\,.

Dabei sind LaTeX: q_i generalisierte Koordinaten und LaTeX: \dot{q}_i deren Zeitableitungen.

Beispiele

Masse im harmonischen Potential (konservativ)

Schwingungssystem: x ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Eine Masse LaTeX: m sei über zwei Federn mit Federkonstante LaTeX: c und festen Randbedingungen verbunden. Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische Energie LaTeX: T und potentielle Energie LaTeX: V aufstellt:

LaTeX: T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2
LaTeX: V = \frac{1}{2}cx^2

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

LaTeX: L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}cx^2

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In diesem Beispiel lautet die generalisierte Koordinate LaTeX: x, die Euler-Lagrange-Gleichung

LaTeX: {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot{x}}}={\partial{L}\over \partial x}.

Dies führt mit obigen Formeln für LaTeX: L auf

LaTeX: \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)=-c x

und damit auf die Bewegungsgleichung des Systems:

LaTeX: \ddot{x} = -\frac{c}{m} x.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist LaTeX: x(t)=A\cos(\omega t + \varphi), LaTeX: t ist die Zeit, LaTeX: \textstyle \omega=\sqrt{c/m} die Kreisfrequenz. Die konstante Amplitude LaTeX: A und Phase LaTeX: \varphi können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Siehe auch

Literatur

Der Lagrange-Formalismus wird in vielen ein- und weiterführenden Lehrbüchern der klassischen Mechanik behandelt.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik I – Mechanik. Akademie-Verlag Berlin 1987, S. 156.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Lagrange-Formalismus aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.