Gleichung

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Eine Gleichung ist eine mittels des Gleichheitszeichens (=) symbolisierte mathematische Aussage über die Gleichheit zweier Terme T1 (linke Seite) und T2 (rechte Seite):

LaTeX: T_1 = T_2

Algebraische Gleichung

Eine algebraische Gleichung lässt sich ganz allgemein durch ein Polynom LaTeX: P_n(x) LaTeX: n-ten Grades über dem Körper LaTeX: K ausdrücken:

LaTeX: P_n(x) = 0

mit LaTeX: P_n(x) =  a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 =\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung enthält nur Unbekannte in der ersten Potenz (LaTeX: n = 1) und lautet im einfachsten Fall mit der Variablen LaTeX: x und den konstanten Parametern LaTeX: a, b:

LaTeX: a \cdot x + b = 0

quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung (LaTeX: n = 2) hat demgegenüber die allgemeine Form:

LaTeX: ax^2+bx+c=0\quad

Diophantische Gleichung

Eine Diophantische Gleichung, benannt nach Diophantos von Alexandria (um 250), ist eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, für die ausschließlich ganzzahlige Lösungen gesucht werden, also z.B.:

LaTeX: 2x^3 - x^2 - 8x = -4 \quadd x \in\mathbb Z hat die Lösungen LaTeX: x=\pm 2

Ein weiteres Beispiel sind die pythagoräischen Zahlentripel:

LaTeX: x^2 + y^2 = z^2

für die die Formeln

LaTeX: x = u^2 - v^2
LaTeX: y = 2uv
LaTeX: z = u^2 + v^2

für beliebige LaTeX: u, v \in \mathbb N, u>v gültige Lösungen liefern.

Fermats letzter Satz

Durch Verallgemeinerung erhält man aus den pythagoräischen Zahlentripeln diophantische Gleichungen vom Grad LaTeX: n:

LaTeX: x^n + y^n = z^n

Nach dem berühmten letzten Satz von Fermat, der im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat (1607-1665) aufgestellt wurde, gibt es für diese Gleichung für LaTeX: n>2 keine ganzzahligen Lösungen. Der lange gesuchte Beweis für diese Begauptung wurde erst 1994 von Andrew Wiles erbracht.

Exponentialgleichung

Bei einer Exponentialgleichung steht zumindest eine Unbekannte wenigstens einmal im Exponenten, z.B:

LaTeX: b^x = a

Sie kann durch Logarithmieren gelöst werden:

LaTeX: x = \log_b a

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine gesuchte, von einer oder mehreren Variablen abhängige Funktion, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Sie sind ein in den Wissenschaften häufig gebrauchtes Mittel zur mathematischen Modellierung von Teilbereichen der Wirklichkeit.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion LaTeX: f(x) nur von einer Variablen LaTeX: x ab.

Partielle Differentialgleichungen

Bei partiellen Differentialgleichung hängt die gesuchte Funktion LaTeX: f(x_1, x_2, \dots, x_n) von mehreren Variablen ab und es treten darin auch partielle Ableitung nach den verschiedenen Variablen auf.

Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, dessen Lösungen für alle ihm anghörigen Gleichungen erfüllt sein müssen. Ein lineares Gleichungssystem besteht nur aus linearen Gleichungen.

Siehe auch

Literatur

  • Gerhard Kowol: Gleichungen: Eine historisch-phänomenologische Studie, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 1990, ISBN 978-3772509292