Funktion (Mathematik)

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Graphen einiger Potenzfunktionen

Als Funktion (von lat. functio „Tätigkeit, Verrichtung“) oder Abbildung wird in der Mathematik eine Relation zwischen zwei Mengen bezeichnet, bei der jedem Element der Definitionsmenge (Funktionsargument, unabhängige Variable, LaTeX: x-Wert) genau ein Element der Zielmenge (Funktionswert, abhängige Variable, LaTeX: y-Wert) zugeordnet wird.

Eine Funktion kann etwa durch eine Funktionsgleichung mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift angegeben werden, z.B.:

LaTeX: f(x) = x^2, \qquad x \in \mathbb{N}

oder

LaTeX: x \mapsto x^2, \qquad x \in \mathbb{N}


Graphisch können Funktionen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulicht werden, wobei auf der horizontalen LaTeX: x-Achse die Funktionsargumente und auf der LaTeX: y-Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die nebenstehende Grafik zeigt etwa die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen:

LaTeX: f\colon x \mapsto a x^r \qquad a,r \in \mathbb{R}

Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist stetig und unendlich oft differenzierbar.

Konstante Funktion

Eine konstante Funktion (von lat. constans „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion LaTeX: f ist genau dann konstant, wenn für alle LaTeX: x,y \in A gilt: LaTeX: f(x)=f(y).

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion enthält die Unbekannte(n) nur in der ersten Potenz; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den konstanten Parametern LaTeX: a, b:

LaTeX: f(x) = a \cdot x + b

Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Steigung gleich LaTeX: a ist.

Indikatorfunktion

Eine Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Dirichlet-Funktion, die die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen ist:

LaTeX: D\colon \mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}

Siehe auch