Schrödingergleichung

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Erwin Schrödinger (1933)
Eine Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen (V(r) = 0), das sich als Wellenpaket ohne Dispersion (d.h. ohne zu zerfließen) im leeren Raum bewegt.

Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung formuliert und ist die fundamentale Gleichung der Quantenmechanik.

Grundlagen

Die Schrödingergleichung beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands in einem nichtrelativistischen quantenmechanischen System. Mit ihrer Hilfe gelang es, das Spektrum des atomaren Wasserstoffs exakt herzuleiten. Sie lautet in ihrer allgemeinsten Form:

LaTeX: i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\vert\psi(\mathbf{r},t)\rangle = \hat H\vert\psi(\mathbf{r},t)\rangle

Darin bedeutet LaTeX: \mathrm i die imaginäre Einheit, LaTeX: \psi(\mathbf{r},t) die vom Ort LaTeX: \mathbf{r} und der Zeit LaTeX: t abhängige komplexe Wellenfunktion, LaTeX: \hbar = \frac{h}{2\pi} das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und LaTeX: \hat{H} den Hamiltonoperator (Energieoperator) des betrachteten Systems.

Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Nach der 1926 von Max Born (1882-1970) vorgeschlagenen statistischen Deutung der Quantenmechanik entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion LaTeX: |\psi\left(\mathbf{r}, t\right)|^2 der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens. Dazu muss die Wellenfunktion allerdings so normiert werden, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1 ist:

LaTeX: \int |\psi(\mathbf{r},t)|^2\;\mathrm{d}r = 1

Die Wellenfunktion ist in diesem Sinn eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die eine Wahrscheinlichkeitswelle repräsentiert.

Energieeigenwerte

Drei Lösungen für die Wellenfunktion der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für einen harmonischen Oszillator:
Links: Der Realteil (blau) und der imaginäre Teil (rot) der komplexen Wellenfunktion.
Recht: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte LaTeX: |\psi\left(\mathbf{r}, t\right)|^2.
Die beiden oberen Reihen zeigen stationäre Zustände. Ihr Superpositionszustand LaTeX: \psi_N \equiv (\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2} ist hingegen nicht stationär.

Die Energieeigenwerte sind Eigenwerte des Hamiltonoperators, die sich aus der Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ergeben. Es handelt sich dabei also um stationäre Zustände, in Dirac-Notation einfach darstellbar in der Form[1]:

LaTeX:  H | \psi \rangle = E | \psi \rangle

Indem man den stationären Zustand in die Schrödingergleichung einsetzt, ergibt sich[2]:

LaTeX: i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle = E_\psi|\psi\rangle

Der Lösungsansatz dieser Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator beschreibt LaTeX: |\psi\rangle als stehende Welle, die mit einem komplexen Phasenfaktor schwingt, dessen Winkelfrequenz LaTeX: \omega enstprechend der Quantenhypothese gleich ist der Energie LaTeX: E dividiert durch die reduzierte Plancksche Konstante:

LaTeX: E = \hbar \omega \Rightarrow \omega = E/\hbar

Die Wellenfunktion LaTeX: |\psi\rangle ist im stationären Zustand also keineswegs konstant, wohl aber der Energieeigenwert bzw. das Betragsquadrat der Wellenfunktion LaTeX: |\psi\left(\mathbf{r}, t\right)|^2:

LaTeX: |\psi(t)\rangle = e^{-iE_\psi t/\hbar}|\psi(0)\rangle

Beispiel

Für ein Teilchen der Masse LaTeX: m, das sich mit dem Impuls LaTeX: \mathbf{p} in einem Potential LaTeX: V(\mathbf{r}) bewegt, ergibt sich beispielsweise aus der Hamiltonfunktion

LaTeX: H \left( \mathbf{r},\mathbf{p}} \right) = \frac{\mathbf{p}\,^2}{2 \, m}+V(\mathbf{r}}) = E_{kin} + E_{pot} = E

in Operatorschreibweise der Hamiltonoperator wie folgt:

LaTeX: \hat{H}(\hat{\mathbf{r}}, \hat{\mathbf{p}}) = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2\,m}+V(\hat{\mathbf{r}})

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik, 2 Bände, 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016458-2
  2. P.W. Atkins: Quanta: A handbook of concepts, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1