Fourier-Transformation

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Die Bass-Note A (55 Hz) auf einer Bassguitarre als Zeitsignal
Die Fourier-Analyse enthüllt das Frequenzspektrum des gespielten Tons mit allen Obertönen.

Die Fourier-Transformation (FT), benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ist eine mathematische Methode, um aus einer beliebigen (auch aperiodischen) Funktion LaTeX: f(x) eine Summe (bzw. ein Integral) harmonischer periodischer Funktionen zu erzeugen, aus denen sie wieder aufgebaut werden kann, ähnlich wie etwa ein musikalischer Akkord in die darin zusammenklingenden Töne inklusive aller Obertöne aufgespalten, also gleichsam analysiert bzw. in ihr Frequenzspektrum zerlegt werden kann. In diesem Sinn spricht man auch von einer Fourier-Analyse bzw. einer klassischen harmonischen Analyse. Die durch die Fourier-Transformation erzeugte Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man Fourier-Transformierte oder auch Spektralfunktion.

Die Umkehrfunktion, entsprechend dem Wiederaufbau des Akkords aus den einzelnen Tönen, wird dementsprechend Fourier-Synthese genannt. Die Fourier-Transformation wird in der Physik häufig dazu verwendet, um eine durch empirisch gewonnene Messdaten aufgespannte Funktion in ihre harmonischen Bestandteile zu zerlegen.

Definition

Für eine beliebige integrierbare Funktion LaTeX: f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C} ist die kontinuierliche Fourier-Transformierte für alle LaTeX: y \in\mathbb R wie folgt definiert:

LaTeX: \hat{f}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-2\pi i x y}\,dx

Ist eine diskrete Folge von Messwerten LaTeX: a=(a_0,\dotsc,a_{N-1}) gegeben, wird die diskrete Fourier-Transformierte (DFT) als Fourier-Reihe wie folgt dargestellt:

LaTeX: \hat a_k = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi \mathrm{ik}\cdot\frac{n}{N}}\cdot a_n     für   LaTeX: k=0,\dotsc,N-1

Für die inverse Fourier-Transformation (iFT) gilt entsprechend für alle LaTeX: x \in\mathbb R:

LaTeX: f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(y)\ e^{2 \pi i x y}\,dy

bzw. für die inverse diskrete Fourier-Transformation (iDFT):

LaTeX: a_k=\frac 1 N \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{ik}\cdot\frac{n}{N}}\cdot a_n     für   LaTeX: k=0,\dots,N-1 \,

wobei nach der Eulerschen Formel die komplexen harmonischen Funktionen erzeugt werden:

LaTeX: \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( x\right) bzw. LaTeX: \mathrm{e}^{\mathrm{-i}\,x} = \cos\left(x \right) - \mathrm{i}\,\sin\left( x\right)

Siehe auch