Folge (Mathematik)

Als Folge (eng. sequenz) wird in der Mathematik eine endliche oder unendliche abzählbare Menge fortlaufend nummerierter und mit einem entsprechenden Index versehener Elementen bezeichnet. Im Unterschied zu einer ungeordneten Menge kommt es also hier auf die Reihenfolge an. Eine endliche Folge von $n$ Elementen wird auch $n$-Tupel genannt. Die Elemente der Folge können explizit aufgezählt oder durch ein entsprechendes - gegebenenfalls rekursives - Bildungsgesetz angegeben werden, z.B. die Folge der natürlichen Zahlen $(0,1,2,3,4,5,...)$ mit dem expliziten Bildungsgesetz $a_{n}=n$ bzw. rekursiv $a_{n+1}=a_{n}+1$.

Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar $(a,b)$ ist ein 2-Tupel, d.h. eine Folge mit genau zwei Elementen. Nach dem von Giuseppe Peano (1858-1932) formulierten Paaraxiom gelten zwei geordnete Paare genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind, d.h.:

$(a,b)=(c,d)\iff a=c~{\text{und}}~b=d$

Konvergenz

→ Hauptartikel: Konvergenz

Unendliche Folgen können gegen einen endlichen Grenzwert oder Limes konvergieren, z.B.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0$

oder im nachstehenden Beispiel nach Kürzung durch $n^{2}$ unter Berücksichtigung von $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}=0$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}+1}{4n^{2}+3}}={\frac {1+{\frac {1}{n^{2}}}}{4+{\frac {1}{n^{2}}}}}={\frac {1+0}{4+0}}={\frac {1}{4}}$

Beispiele

Arithmetische Folge

Bei einer arithmetischen Folge, beispielsweise der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen $(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots )$, ist die Differenz $d$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

$a_{i+1}=a_{i}+d\quad$ (rekursive Formel)

$a_{i}=a_{0}+i\cdot d\quad$ (explizite Formel)

Geometrische Folge

Bei einer geometrischen Folge, beispielsweise der Folge $(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ldots )$, ist der Quotient $q$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

$a_{i+1}=a_{i}\cdot q\quad$ (rekursiv)

$a_{i}=a_{0}\cdot \,q^{i}$ (explizit)

Eine geometrische Folge konvergiert genau dann, wenn $|q|<1$.

Cauchy-Folge

Bei einer Cauchy-Folge wird der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein.

Eine Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), ist eine Folge, bei der im Verlauf der Folge die Differenz der Folgenglieder beliebig klein wird, d. h.:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon$

Cauchy-Folgen sind grundlegend für den Aufbau der Analysis mittels der von Karl Weierstraß (1815-1897) Ende des 19. Jahrhunderts eingeführten Epsilontik.

Siehe auch

• Reihe (Mathematik)
• Folge (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia