Dirac-Notation

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Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums LaTeX: V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket LaTeX: | v \rang. Jedem Ket LaTeX: | v \rang entspricht ein Bra LaTeX: \lang v | \, , der dem Dualraum LaTeX: V^* angehört, also eine lineare Abbildung von LaTeX: V in den zu Grunde liegenden Körper LaTeX: K repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras LaTeX: \lang v | auf einen Ket LaTeX: | w \rang wird LaTeX: \lang v | w \rang geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

Darstellung

Sei LaTeX: v ein Vektor eines komplexen LaTeX: m-dimensionalen Vektorraums LaTeX: \left(v \in \Complex^m\right). Der Ket-Ausdruck LaTeX: \left| v \right\rangle kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen LaTeX: v_n (LaTeX: v_n \in \Complex) dargestellt werden:

LaTeX: \left| v \right\rangle \doteq \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}

Wichtig ist dabei, dass LaTeX: \left| v \right\rangle und der dazugehörige transponierte VektorLaTeX: (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T nicht dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf[1]. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer Basis unabhängig ist, während die Darstellung durch Koordinatenvektoren die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei LaTeX: (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T um die Darstellung von LaTeX: \left| v \right\rangle handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie LaTeX: \Rightarrow, LaTeX: \doteq[2], LaTeX: \leftrightarrow[3] etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck LaTeX: \left\langle v \right| kann demnach als horizontaler Vektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden:

LaTeX: \left\langle v \right| \doteq \begin{pmatrix} v_1^* && v_2^* && v_3^* && \dotso && v_m^* \end{pmatrix}


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Dirac-Notation aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.
  1. Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai, S. 20
  2. Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai
  3. Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar, Springer London, Limited, 2012