Dirac-Notation

Paul Dirac an der Tafel

Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums $V$ auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $|v\rangle$. Jedem Ket $|v\rangle$ entspricht ein Bra $\langle v|\,,$ der dem Dualraum $V^{*}$ angehört, also eine lineare Abbildung von $V$ in den zu Grunde liegenden Körper $K$ repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras $\langle v|$ auf einen Ket $|w\rangle$ wird $\langle v|w\rangle$ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

Darstellung

Sei $v$ ein Vektor eines komplexen $m$-dimensionalen Vektorraums $\left(v\in \mathbb {C} ^{m}\right)$. Der Ket-Ausdruck $\left|v\right\rangle$ kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen $v_{n}$ ($v_{n}\in \mathbb {C}$) dargestellt werden:

$\left|v\right\rangle \doteq {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{m}\end{pmatrix}}$

Wichtig ist dabei, dass $\left|v\right\rangle$ und der dazugehörige transponierte Vektor$(v_{1},v_{2},v_{3},\dots ,v_{m})^{T}$ nicht dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer Basis unabhängig ist, während die Darstellung durch Koordinatenvektoren die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei $(v_{1},v_{2},v_{3},\dots ,v_{m})^{T}$ um die Darstellung von $\left|v\right\rangle$ handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie $\Rightarrow$, $\doteq$, $\leftrightarrow$ etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck $\left\langle v\right|$ kann demnach als horizontaler Vektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden:

$\left\langle v\right|\doteq {\begin{pmatrix}v_{1}^{*}&&v_{2}^{*}&&v_{3}^{*}&&\dotso &&v_{m}^{*}\end{pmatrix}}$