Lineare Abbildung

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Die Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung

Als lineare Abbildung wird in der linearen Algebra eine homogene additive Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper bezeichnet, bei der es aufgrund der Linearität unerheblich ist, ob man zuerst die Vektoren addiert und dann ihre Summe abbildet oder ob man zuerst die Vektoren abbildet und dann ihre Summe darstellt, wie es das nebenstehende Beispiel einer Achsenspiegelung veranschaulicht.

Definition

Eine Abbildung LaTeX:  f\colon V \to W zwischen zwei Vektorräumen LaTeX: V und LaTeX: W über dem gemeinsamen Körper LaTeX:  K heißt lineare Abbildung, wenn für alle LaTeX:  x,y \in V und LaTeX: a \in K gilt:

LaTeX: f\left(ax + y\right) = af\left(x\right) + f\left(y\right)

Für LaTeX: y = 0 ist daraus die geforderte Bedingung für die Homogenität ersichtlich:

LaTeX: f\left(a x\right) = a f\left(x\right)

und für LaTeX: a = 1 die Bedingung der Additivität:

LaTeX: f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)

Multilineare Abbildung

Als multilineare Abblidung wird eine Abbildung bezeichnet, die bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist.