Raum (Mathematik)

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Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum
Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.
Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ein Raum ist in der Mathematik als abstrakte Verallgemeinerung des uns gewohnten Anschauungsraums als eine Menge mathematischer Objekte mit einer mathematischen Struktur definiert, z.B. als Vektorraum oder als topologischer Raum bzw. als Mannigfaltigkeit. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.

Vektorraum

Ein LaTeX: n-dimensionaler Vektorraum LaTeX: V besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die Vektoren (von lat. vector „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem Skalar (z.B. einer Zahl) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die Assoziativgesetze und Distributivgesetze erfüllt sind. Einen Vektorraum, dessen Elemente als Funktionen betrachtet werden, bezeichnet man als Funktionenraum.

Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten Körper, z.B. dem Körper LaTeX: \mathbb R der reellen Zahlen oder dem Körper LaTeX: \mathbb C der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets über einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen reellen oder komplexen Vektorraum.

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes LaTeX: \overrightarrow P wird ein Vektor LaTeX: \overrightarrow{OP} bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt LaTeX: \overrightarrow O (meist dem Ursprung des Koordinatensystems) zu diesem Punkt zeigt.

Basis

e1 und e2 bilden die Standardbasis der euklidischen Ebene LaTeX:  \mathbb{R}^2 .

Die Basis eines Vektorraums wird durch eine Menge von Basisvektoren gebildet, durch als deren endliche Linearkombination sich jeder Vektor des Raumes eindeutig darstellen lässt. Bei einem Funktionenraum bezeichnet man sie auch als Basisfunktionen. Die Standardbasis des Vektorraums LaTeX: K^n ist beispielsweise die Menge der kanonischen Einheitsvektoren LaTeX: \{\vec e_1, \vec e_2, \cdots, \vec e_n \} \ = \{ (1,0,\dotsc,0), (0,1,0,\dotsc,0), \dotsc, (0,\dotsc,0,1) \}. Für den Vektorraum der Polynome über einem Körper wird meist die Basis LaTeX: \{1,X,X^2,X^3,\dotsc\} verwendet.

Im Allgemeinen kann ein Vektorraum über verschiedene Basen verfügen. Der Übergang von einer Basis LaTeX: B zu einer Basis LaTeX: B' wird durch einen Basiswechsel bzw. durch eine Basistransformation vollzogen, die eine identische Abbildung LaTeX: \operatorname{id_V}des Vektorraums auf sich selbst ist. Sie kann mithilfe einer Transformationsmatrix (auch Basiswechselmatrix oder Übergangsmatrix) LaTeX: T^B_{B'} beschrieben werden. Dabei handelt es sich um den Spezialfall einer Abbildungsmatrix (auch Darstellungsmatrix) LaTeX: M^A_B, durch die ganz allgemein lineare Abbildungen zwischen zwei beliebig dimensionalen Verktorräumen LaTeX: A und LaTeX: B dargestellt werden. Für eine Basistransformation ist daher

LaTeX: T _{B'}^B = M_{B'}^{B}(\operatorname{id_V}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots  & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots &  a_{nn} \end{pmatrix}

Die Koeffizienten LaTeX: a_{ij} der Transformationsmatrix ergeben sich, indem man die Basisvektoren LaTeX: \vec b_j der ursprünglichen Basis LaTeX: B als Linearkombination der Basisvektoren LaTeX: \vec b'_i der neuen Basis LaTeX: B' darstellt, d.h.:

LaTeX: b_j = a_{1j} b_1{}' + a_{2j} b_2{}' + \dots + a_{nj} b_n{}'  = \sum_{i = 1}^n a_{ij} b_i{}', \qquad j = 1, \dots, n

Vektorrechnung

Matrixdarstellung des dreidimensionalen Levi-Civita-Symbol
Veranschaulichung des Kreuzprodukts

In der Vektorrechnung sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als Spaltenvektor oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:

Rechenoperation Spaltenvektoren Komponentenschreibweise Beschreibung
Addition/Subtraktion LaTeX: 
<pre>\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</pre>
<p>

LaTeX:  c_i = a_i \pm b_i
Multiplikation mit einem Skalar LaTeX:  
<pre>\vec c = r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}
</pre>
<p>

LaTeX: c_i = r a_i
Skalarprodukt LaTeX: 
<pre>c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 LaTeX: c = \sum_i a_i b_i
Betrag LaTeX: a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}[1] LaTeX: a = \sqrt{\sum_i a_i^2}
Kreuzprodukt
(Vektorprodukt)
LaTeX: \vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} LaTeX: c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}[2] Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms:

LaTeX: A = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|

Spatprodukt LaTeX: (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds:

LaTeX: V = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|

Dyadisches Produkt
(tensorielles Produkt)
LaTeX: 
<p>\boldsymbol C = (c_{ij}) = \vec{a}\otimes\vec{b}
= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}

LaTeX: c_{ij} = a_i b_j

Siehe auch

Literatur

  • Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik, 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8

Einzelnachweise

  1. nach dem Satz von Pythagoras
  2. LaTeX: \varepsilon_{ijk} ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.
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