Mathematische Struktur

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Eine mathematische Struktur ist eine Menge mit bestimmten Eigenschaften. Diese Eigenschaften ergeben sich durch eine oder mehrere Relationen zwischen den Elementen (Struktur erster Stufe) oder den Teilmengen der Menge (Struktur zweiter Stufe).[1] Diese Relationen und damit auch die Struktur, die sie definieren, können von sehr verschiedener Art sein. Eine solche Art lässt sich durch gewisse Axiome festlegen, die die definierenden Relationen zu erfüllen haben. Die wichtigsten großen Typen, in die sich Strukturen klassifizieren lassen, sind algebraische Strukturen, relationale Strukturen wie insbesondere Ordnungsstrukturen, sowie topologische Strukturen.[2] Viele wichtige Mengen besitzen sogar mehrfache Strukturen, das heißt Mischstrukturen aus diesen Grundstrukturen.[3] Zum Beispiel haben Zahlbereiche sowohl eine algebraische, eine Ordnungs- als auch eine topologische Struktur, die miteinander verbunden sind. Daneben gibt es auch noch geometrische Strukturen.

Algebraische Strukturen

Eine algebraische Struktur oder kurz eine (allgemeine) Algebra ist eine Struktur (erster Stufe), die nur durch eine oder mehrere Verknüpfungen definiert ist (als Funktionen sind Verknüpfungen spezielle Relationen).

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen und ähnliche

Eine hierarchische Zusammenstellung der grundlegenden algebraischen Strukturen

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen eine oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen. Die Taxonomie, also die Klassifizierung dieser Strukturen, richtet sich danach, welche der folgenden Gruppenaxiome in der Menge LaTeX: M bezüglich der Verknüpfung LaTeX: \circ gelten:

(E) Existenz und Eindeutigkeit (auch Abgeschlossenheit): LaTeX: \forall a, b \in M: a \circ b \in M.
(A) Assoziativgesetz: LaTeX: \forall a, b, c \in M: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).
(N) Existenz eines neutralen Elements: LaTeX: \exists e \in M: \forall a \in M: a \circ e = e \circ a = a.
(I) Existenz eines inversen Elements: LaTeX: \forall a \in M: \exists a^{-1} \in M: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e.
(K) Kommutativgesetz: LaTeX: \forall a, b \in M: a \circ b = b \circ a.
(Ip) Idempotenzgesetz: LaTeX: \forall a \in M: a \circ a = a.

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der Gruppe:

Name Axiome Beschreibung
Gruppoid (auch Magma) E Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung.
Halbgruppe EA Ein Gruppoid mit Assoziativgesetz. Beispiel: LaTeX: (\N,+).
Halbverband EAKIp Eine Halbgruppe mit Kommutativgesetz und Idempotenzgesetz. Beispiel: LaTeX: (\N,\text{max}).
Monoid EAN Eine Halbgruppe mit einem neutralen Element LaTeX: e. Beispiel: LaTeX: (\N_0,+) mit LaTeX: e = 0.
Loop mit Inverseneigenschaft ENI Ein Gruppoid mit neutralem Element, in dem es zu jedem Element ein (eindeutiges) Inverses gibt.
Gruppe EANI Gleichzeitig ein Monoid und eine Quasigruppe. Gruppen wurden Anfang des 19. Jahrhunderts zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental für den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele für Zahlbereiche, die eine Gruppe bilden: LaTeX: (\Z,+), LaTeX: (\Q\setminus\lbrace 0\rbrace,\cdot). Beispiele für Transformationsgruppen, die Symmetrien beschreiben: die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien, die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen, die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien.
Abelsche Gruppe EANIK Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Ringe, Körper und ähnliche

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie LaTeX: \Z, LaTeX: \Q, LaTeX: \R) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die Verträglichkeit der multiplikativen mit der additiven Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt:

(Dl) Links-Distributivgesetz: LaTeX: \forall a, b, c \in M : a \cdot(b + c) = a \cdot b + a \cdot c.
(Dr) Rechts-Distributivgesetz: LaTeX: \forall a, b, c \in M : (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.
(D) Distributivgesetz: es gelten Dl und Dr.

Weitere Axiome, die beide Verknüpfungen betreffen, sind:

(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, LaTeX: 0 und LaTeX: 1, sind nicht gleich.
(T) Nullteilerfreiheit: Wenn LaTeX: 0 das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt aus LaTeX: a \cdot b = 0 für alle LaTeX: a, b aus LaTeX: M, dass LaTeX: a = 0 oder LaTeX: b = 0 gilt.
(I*) Für jedes Element, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung, existiert das inverse Element bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. Formal: LaTeX: \forall a \in M \setminus\lbrace 0\rbrace : \exists a^{-1} \in M: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.

Die jeweils gültigen Axiome sind im Folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | gemischte Axiome) gekennzeichnet.

  • Halbring: Axiome (EA|EA|D) zwei Halbgruppen
  • Dioid: Axiome (EAN|EAN|D) zwei Monoide
  • Fastring: Axiome (EANI|EA|Dr): Eine additive Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe und das Rechts-Distributivgesetz.
  • (Links-)Quasikörper: Axiome (EANIK|ENI|DlU): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Loop.
  • Ring: Axiome (EANIK|EA|D): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.
  • Ring mit Eins oder unitärer Ring: Axiome (EANIK|EAN|D): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.
  • Integritätsbereich: Axiome (EANIK|EANK|DTU): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit LaTeX: 1 \neq 0.
  • Halbkörper: Axiome (EA|EANI*|D) Halbring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge (ohne die LaTeX: 0 falls diese existiert).
  • (Rechts-)Fastkörper: Axiome (EANI(k)|EANI*|DrTU) Fastring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge ohne die LaTeX: 0. Die Addition jedes Fastkörpers ist kommutativ.
  • Schiefkörper: Axiome (EANIK|EANI*|DTU): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit LaTeX: 1 \neq 0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element LaTeX: 0.
  • Körper: Axiome (EANIK|EANI*K|DTU): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element LaTeX: 0. Jeder Körper ist auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man in dem Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. Beispiele: die Zahlbereiche LaTeX: \Q, LaTeX: \R und LaTeX: \Complex.

Wichtige Teilmengen sind:

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Verbände, Mengenalgebren und ähnliche

Ein Verband ist eine algebraische Struktur, deren zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(V) Verschmelzungsgesetze (auch Absorptionsgesetze genannt): LaTeX: a \cap (a \cup b) = a und LaTeX: a \cup (a \cap b) = a.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen:

In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Verschmelzungsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolesche Algebra ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, LaTeX: a \cup 0 = a und LaTeX: a \cap 1 = a, und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat,

(C) Existenz eines Komplements: zu jedem LaTeX: a gibt es ein LaTeX: \lnot a, für das gilt LaTeX: a \cup \lnot a = 1 und LaTeX: a \cap \lnot a = 0.

Beachte, dass das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

  • Boolesche Algebra: Axiome (EAKN (bezüglich LaTeX: \cup)|EAKN (bezüglich LaTeX: \cap)|V,D,C).
  • Mengenalgebra: eine Boolesche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge LaTeX: X, mit den Mengenoperatoren LaTeX: \cup und LaTeX: \cap als Verknüpfungen, mit dem Nullelement LaTeX: \emptyset und dem Einselement LaTeX: X.
  • σ-Algebra: eine bezüglich abzählbar-unendlicher Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra.
  • Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren.
  • Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zum Maßraum: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume und ähnliche

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) LaTeX: V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) LaTeX: K, dessen Gruppenaktion auf LaTeX: V als Linksmultiplikation LaTeX: \ast \colon K \times V \to V oder als Rechtsmultiplikation LaTeX: \ast \colon V \times K \to V geschrieben und (von LaTeX: V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von LaTeX: K heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für LaTeX: a, b aus LaTeX: K und LaTeX: v aus LaTeX: V gilt LaTeX: (a \cdot b) \ast v = a \ast (b \ast v).
(DL) Distributivgesetze: für LaTeX: a, b aus LaTeX: K und LaTeX: v, w aus LaTeX: V gilt LaTeX: a \ast (v + w) = a \ast v + a \ast w und LaTeX: (a + b) \ast v = a \ast v + b \ast v.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (LaTeX: V | LaTeX: K | Verträglichkeitsaxiome):

  • Linksmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AL,DL).
  • Rechtsmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
  • Modul: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
  • Linksvektorraum: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | AL,DL).
  • Rechtsvektorraum: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
  • Vektorraum: (Abelsche Gruppe | Körper | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen

Beziehungen zwischen mathematischen Räumen
  • K-Algebra: Algebra über einem Körper (veraltet auch: Lineare Algebra (Struktur)): Vektorraum mit zusätzlicher bilinearer Verknüpfung, LaTeX: [\cdot, \cdot] \colon V \times V \rightarrow V.

Die im Folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

  • Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) – außer dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.
Vektorraum mit allgemein + Vollständigkeit
Metrik metrischer Raum vollständiger Raum
Norm normierter Raum Banachraum
Skalarprodukt Prähilbertraum (Innenproduktraum) Hilbertraum

Nach unten und nach rechts nimmt die Spezialisierung der Vektorräume zu. Die in der Tabelle unten stehenden Vektorräume weisen die Eigenschaften der darüberstehenden auf, da ein Skalarprodukt eine Norm induziert LaTeX: \left\| v \right\|=\sqrt{\left\langle v,v \right\rangle } und eine Norm einen Abstand LaTeX: d(v,w)=\left\| v-w \right\|.

Ordnungsstrukturen

Eine Ordnungsstruktur ist eine Struktur (erster Stufe), die mit einer Ordnungsrelation ausgestattet ist, d. h., sie ist eine relationale Struktur oder kurz ein Relativ.[4]

  • strenge Halbordnung: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum LaTeX: \R^n.
  • totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: „Kleinergleich“ auf LaTeX: \Z.
  • fundierte Ordnung: eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation „Gleich oder Element von“ in einer Menge von Mengen.
  • Wohlordnung: totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: „Kleiner“ auf LaTeX: \N.

Topologische Strukturen

Der geometrische Begriff des Abstands (der Metrik) ermöglicht es, in metrischen Räumen das grundlegende Konzept der modernen Analysis, die Konvergenz, zu handhaben. Topologische Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen, die Konvergenz in einem allgemeinen Sinne zu behandeln (jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird). Die verschiedenen topologischen Räume, sie lassen sich durch ihre möglichen lokalen Strukturen klassifizieren, erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung bestimmter Teilmengen als offen oder, äquivalent dazu, als abgeschlossen (Strukturen zweiter Stufe).

Geometrische Strukturen

Eine geometrische Struktur kommt durch Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Ihre Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Geometrie, Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

Ihre Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben (Felix Klein, Erlanger Programm):

Zahlbereiche

Hauptartikel: Zahl

Zahlbereiche sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division stets möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen (unter anderem) das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

  • Die Menge der natürlichen Zahlen LaTeX: \N dient dem Abzählen und steht ganz am Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Im Folgenden soll die Null LaTeX: 0 nicht in LaTeX: \N enthalten sein, die entgegengesetzte Konvention ist aber auch üblich. LaTeX: (\N, +) und LaTeX: (\N, \cdot) sind kommutative Halbgruppen. Addition und Multiplikation sind, wie auch bei allen anderen Zahlbereichen, distributiv.
  • Die Menge der positiven Brüche LaTeX: \Q^+ entsteht aus LaTeX: \N, indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. LaTeX: (\Q^+, \cdot) ist daher eine Gruppe und LaTeX: (\Q^+, +) ist eine Halbgruppe (beide kommutativ).
  • Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen LaTeX: \Q entsteht aus LaTeX: \Q^+ durch Hinzunahme des neutralen Elements und der Inversen bezüglich der Addition oder aus LaTeX: \Z durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Multiplikation. LaTeX: (\Q, +) und LaTeX: (\Q \setminus \{0\}, \cdot) sind abelsche Gruppen, Addition und Multiplikation sind distributiv. LaTeX: \Q ist ein Körper.
  • Die Menge der komplexen Zahlen LaTeX: \Complex besteht aus Paaren reeller Zahlen LaTeX: (a,b), die in der Schreibweise LaTeX: a+bi mit LaTeX: i^2=-1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In LaTeX: \Complex ist jede algebraische Gleichung auflösbar. LaTeX: \Complex ist ein Körper.
  • Quaternionen, Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlenbereiche sind nicht mehr kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

  • Der Restklassenring LaTeX: \Z_m ist die Einschränkung der ganzen Zahlen auf die Menge LaTeX: \{ 0, 1, \ldots , m-1 \}. Alle Rechenoperationen werden modulo LaTeX: m ausgeführt. LaTeX: \Z_m ist ein Ring; wenn LaTeX: m eine Primzahl ist, sogar ein Körper. In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze Zahlen als Restklassenringe zum Beispiel mit LaTeX: m=2^{16} oder LaTeX: m=2^{32} dargestellt.

Siehe auch

Literatur

  •  Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik I. In: Physikalische Blätter. 17, Nr. 4, 1961, S. 161-166, doi:10.1002/phbl.19610170403.  Die Architektur der Mathematik II. In: Physikalische Blätter. 17, Nr. 5, 1961 (Originaltitel: Les grands courants de la pensée mathématique, Marseille 1948, übersetzt von Karl Strubecker, Helga Wünsch), S. 212-218, doi:10.1002/phbl.19610170503.
  •  Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie, Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0, S. 36–37.

Einzelnachweise

  1. Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik I. S. 165 f.
  2. Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik II. S. 212–214.
  3. Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik II. S. 215.
  4. Eng verwandt mit dem Begriff der relationalen Struktur ist der des Graphen im graphentheoretischen Sinn. Die Trägermenge wird dort als Knotenmenge bezeichnet, die Stelle der Relation nimmt die Kantenmenge ein. Graphen sind, wenn nicht anders gesagt, finit.


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