Gruppe (Mathematik)

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Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h. LaTeX:  a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c
  2. Es existiert ein neutrales Element LaTeX: e, sodass LaTeX: e \star a = a (linksneutral) oder LaTeX: a \star e = a (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist LaTeX: e \star a = a \star e = a.
  3. Es gibt inverse Elemente LaTeX: a^{-1}, sodass LaTeX: a^{-1} \star a = e und/oder LaTeX: a \star a^{-1} = e


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. LaTeX: a \star b = b \star a. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist LaTeX:  (\mathbb Z,+,0) , die aus der Menge der ganzen Zahlen LaTeX: \{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\} und der gewöhnlichen Addition LaTeX:  + besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen LaTeX: \mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe LaTeX: (\mathbb N_0,+,0). Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe LaTeX: (\mathbb Z,+,0) der ganzen Zahlen LaTeX: \mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch