Ring (Algebra)

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:

1. $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe,
2. $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
3. die Distributivgesetze $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ für alle $a,b,c\in R$ sind erfüllt.

Das neutrale Element $0$ von $(R,+)$ heißt Nullelement des Rings $R$.

Verfügt die Halbgruppe $(R,\cdot )$ über ein (beidseitiges) neutrales Element $1$ (Einselement), spricht man von einem Ring mit Eins bzw. von einem unitären Ring

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. $a\cdot b=b\cdot a$, andernfalls handelt es sich um einen nicht-kommutativen Ring. So ist etwa der Ring $\mathbb{\mathbb{Z}}$ der ganzen Zahlen ein kommutativer Ring. $\mathbb{\mathbb{Q}},\mathbb{ℝ},\mathbb{ℂ}$ sind ebenfalls Ringe, darüber hinaus aber auch Körper.

Siehe auch

• Ring (Algebra) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Körper (Algebra)