Menge

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Eine Menge von Polygonen

Die Menge (von mhd. manic „viel“) ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Sie fasst eine endliche oder unendliche Anzahl beliebiger, wohlunterschiedener Elemente zu einer Gesamtheit zusammen, wobei es sich bei den Elementen ebenfalls um Mengen (Elementmengen) handeln kann. Der Mengenbegriff umfasst also nicht nur Mengen von einzelnen Elementen, sondern auch Mengen von Mengen. Besteht die Menge aus genau zwei Mengen, spricht man von einer Paarmenge. Mengen werden häufig auch durch entsprechende Mengendiagramme grafisch veranschaulicht.

Grundlagen

Die Mengenlehre wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von Georg Cantor (1845-1918) begründet. Er definierte den Begriff „Menge“ wie folgt:

„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

Georg Cantor[1]

Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen LaTeX: \mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge LaTeX: \emptyset oder auch LaTeX: \{\} bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer Folge.

Grundmenge

A ist eine (echte) Teilmenge von B.

Die Grundmenge, die auch als Universum LaTeX: U bezeichnet wird, umfasst die Menge aller im gegebenen Zusammenhang betrachteten Elemente und ist damit die Basis für alle weiteren Überlegungen.

Teilmenge

Cantor prägte auch den Begriff der Teilmenge oder Untermenge. LaTeX: A ist eine Untermenge (Teilmenge) von LaTeX: B und LaTeX: B ist eine Obermenge von LaTeX: A, wenn jedes Element von LaTeX: A auch in LaTeX: B enthalten ist:

LaTeX: A \subseteq B \Longleftrightarrow B \supseteq A: \forall x \in A\colon x \in B

Enthält LaTeX: B zudem weitere Elemente, die nicht in LaTeX: A enthalten sind, so ist LaTeX: A eine echte Teilmenge von LaTeX: B und LaTeX: B ist eine echte Obermenge von LaTeX: A.

Schnittmenge

Schnittmenge LaTeX: A \cap B

Die Schnittmenge oder Durchschnittsmenge LaTeX: \bigcap U einer nichtleeren Menge von Mengen LaTeX: U ist die Menge aller Elemente, die in jeder Elementmenge von LaTeX: U enthalten sind. So gilt etwa für die aus den beiden Mengen LaTeX: A und LaTeX: B bestehende Paarmenge LaTeX: U\,=\{A,B\}:

LaTeX: \bigcap U := \bigcap_{a\in U} a = \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}

Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge LaTeX: A \cup B

Die Vereinigungsmenge LaTeX: \bigcup U einer nichtleeren Menge von Mengen LaTeX: U ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von LaTeX: U enthalten sind, z.B.:

LaTeX:  \bigcup \, \{A,B\} = \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \} =: {A}\cup{B}

Potenzmenge

Als Potenzmenge LaTeX: \mathcal P(X) wird die Menge aller Teilmengen LaTeX: U einer gegebenen Grundmenge LaTeX: X bezeichnet:

LaTeX: \mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}

Differenzmenge und Komplementärmenge

Das absolute Komplement AC von A in U

Die Differenzmenge zweier Mengen LaTeX: A und LaTeX: B ist die Menge aller Elemente, die in LaTeX: A, aber nicht in LaTeX: B enthalten sind, d.h.:

LaTeX: A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \land \left( x\not\in B \right) \}

Gilt dabei LaTeX: B \subseteq A, so wird die Differenzmenge auch als Komplementärmenge von LaTeX: B in LaTeX: A oder kurz als Komplement bezeichnet. Dabei wird zwischen einem relativem Komplement bezüglich beliebiger Teilmengen und einem absoluten Komplement bezüglich der Grundmenge LaTeX: U unterschieden.

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge wird durch die Kardinalzahl angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der Anzahl ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den hebräischen Buchstaben LaTeX: \aleph und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen, die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend LaTeX: \aleph_0. Die überabzählbare unendliche Menge der reellen Zahlen hat unter Annahme der Kontinuumshypothese[2] die Mächtigkeit LaTeX: \aleph_1, andernfalls gilt zumindest LaTeX: \aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert.

Punktmenge

In der Geometrie werden verschieden dimensionale Räume, wie die eindimensionale Linie, die zweidimensionale Ebene oder der dreidimensionale Raum, traditionell als Punktmengen bezeichnet.

Offene Menge und abgeschlossene Menge

Eine offene Menge enthält keine Randelemente. Die Elemente einer offenen Menge LaTeX: U sind daher nur von Elementen dieser Menge und von keinen äußeren Elementen umgeben, d.h.:

LaTeX: \forall x \in U gibt es eine reelle Zahl LaTeX: \varepsilon > 0, sodass jeder Punkt LaTeX: y des LaTeX: n-dimensionalen euklidischen Raums LaTeX: \mathbb R^n, dessen Abstand zu LaTeX: x kleiner ist als LaTeX: \varepsilon, in LaTeX: U liegt.

Andernfalls handelt es sich um eine abgeschlossene Menge.

Disjunkte Mengen

Zwei disjunkte Mengen

Zwei Mengen LaTeX: A und LaTeX: B heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, d.h. wenn ihre Schnittmenge leer ist:

LaTeX: A\cap B=\emptyset

So sind beispielsweise die Mengen LaTeX: A = \{1, 7, 12\} und LaTeX: B = \{3, 5, 9\} disjunkt, da sie kein gemeinsames Element haben. Die Mengen LaTeX: A = \{1, 7, 12\} und LaTeX: B = \{3, 7, 9\} sind hingegen nicht disjunkt, da sie das Element LaTeX: 7 gemeinsam haben.

Mehrere Mengen sind paarweise disjunkt, wenn beliebige Paare von ihnen disjunkt sind.

Einzelnachweise

  1. Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481. Online.
  2. Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als unentscheidbar erwiesen.