Zahlen

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Zahlen (von ahd. zala „eingekerbtes Merkzeichen“; eng. numbers) bilden eine Grundkategorie menschlichen Denkens. In der sinnlich-physischen Welt dienen sie als abstrakte mathematische Objekte, die Quantitäten (z.B. die Anzahl oder Größe von Gegenständen) repräsentieren, dem Zählen, Messen und der Nummerierung. Für die geistige Welt hat das Zählen keine Bedeutung, wohl aber der individuelle wesenhafte Charakter der einzelnen Zahlen, die zueinander in einem harmonischenmusikalischen“ Verhältnis stehen. Rudolf Steiner sprach diesbezüglich gelegentlich vom «Geheimnis der Zahl», das die zweite planetarische Entwicklungsstufe, die alte Sonne, regierte und bis heute nachklingt und sich als Ordnungsprinzip in den Rhythmen der Natur offenbart.

„Es gibt innerhalb der esoterischen Wissenschaft verschiedene prinzipielle Begriffe, die wie Leitmotive durch die ganze esoterische Bewegung gehen. Ein solcher ist der Begriff der rhythmischen Zahl, ein anderer der des Mikrokosmos und Makrokosmos. Das Geheimnis der Zahl drückt sich aus darin, daß gewisse Erscheinungen so aufeinanderfolgen, daß die siebente Wiederholung als Abschluß eines Ereignisses, die achte als Anfang eines neuen Ereignisses bezeichnet werden kann. Abgebildet ist diese Tatsache innerhalb der physischen Welt in dem Verhältnis der Oktave zum Grundton. Für diejenigen, welche versuchen, in okkulte Welten einzudringen, wird dieses Prinzip die Grundlage zu einer umfassenden Weltanschauung. Es sind nicht nur die Töne nach dem Gesetz der Zahl angeordnet, sondern auch die Ereignisse in der Zeit. Die Ereignisse der geistigen Welt sind so angeordnet, daß man ein Verhältnis findet wie in dem Rhythmus des Tones.“ (Lit.:GA 150, S. 58)

Erkenntnistheoretische Überlegungen zum Wesen der Zahlen

Rudolf Steiner hat darauf hingewiesen, dass dem Allgemeinbegriff „Zahl“ - im Gegensatz zu den einzelnen konkreten Zahlen - keine eigenständige geistige Wirklichkeit entspricht. „Zahl“ ist insofern ein bloßer Name und der Nominalismus, der später ungerechtfertigterweise auf alle Universalien ausgedehnt wurde, ist hier berechtigt. Eine geistige Realität kommt nur den einzelnen, in ihrem Wesen wohlunterschiedenen Zahlen zu.

„Es gibt ein ganzes Gebiet im Umkreis unserer äußeren Erfahrung, für welches der Nominalismus, das heißt die Vorstellung, daß das Zusammenfassende nur ein Name ist, seine volle Berechtigung hat. Es gibt «eins», es gibt «zwei», es gibt «drei», «vier», «fünf» und so weiter. Aber unmöglich kann jemand, der die Sachlage überschaut, in dem Ausdruck «Zahl» etwas finden, was wirklich eine Existenz hat. Die Zahl hat keine Existenz. «Eins», «zwei», «drei», «fünf», «sechs» und so weiter, das hat Existenz. Das aber, was ich gestern gesagt habe, daß man, um den allgemeinen Begriff zu finden, das Entsprechende in Bewegung übergehen lassen soll, kann man bei dem Begriffe Zahl nicht machen. Denn die Eins geht nie in die Zwei über; man muß immer eins dazugeben. Auch nicht im Gedanken geht die Eins in die Zwei über, die Zwei in die Drei auch nicht. Es existieren nur einzelne Zahlen, nicht die Zahl im allgemeinen. Für das, was in den Zahlen vorhanden ist, ist der Nominalismus absolut richtig; für das, was so vorhanden ist wie das einzelne Tier gegenüber seiner Gattung, ist der Realismus absolut richtig. Denn unmöglich kann ein Hirsch und wieder ein Hirsch und wieder ein Hirsch existieren, ohne daß die Gattung Hirsch existiert. «Zwei» kann für sich existieren, «eins», «sieben» und so weiter kann für sich existieren. Insofern aber das Wirkliche in der Zahl auftritt, ist das, was Zahl ist, ein Einzelnes, und der Ausdruck Zahl hat keine irgendwie geartete Existenz. Ein Unterschied ist eben zwischen den äußeren Dingen und ihrer Beziehung zu den allgemeinen Begriffen, und das eine muß im Stile des Nominalismus, das andere im Stile des Realismus behandelt werden.“ (Lit.:GA 151, S. 33f)

Tatsächlich ist der Allgemeinbegriff „Zahl“ mathematisch nicht definiert, sondern eine gemeinsprachliche Bezeichnung für verschiedene mathematische Konzepte. Vielmehr legt die Mathematik bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche (siehe unten) mit genau definierten Eigenschaften fest. Deshalb macht es auch keinen Sinn, mathematischen ganz allgemein von einer Menge aller Zahlen zu sprechen.

Daran können sich folgende erkenntnistheoretischen Überlegungen anschließen. Es beginnt mit der Unterscheidung, die der Zwei entspricht. Umstritten ist, inwiefern die sog. objektive Realität auch nach solchem Zahlenraster bestimmt sein soll. Ist die Zahl ein objektives Merkmal einer Realität, die einem erkennenden Menschen faßbar ist, oder kann ein Mensch Wirklichkeit nur fassen bei der Voraussetzung der Zahl, die exemplarisch in der 2 gegeben ist, - die objektive Realität fügt sich den Zahlen "in Wirklichkeit" aber nicht? Die Zahlen sind ein Kategoriensystem des Menschen, das wegen seiner unbegreiflichen Unhintergehbarkeit im Erkennen es schwierig macht, den Kosmos anders als ein Zahlenräderwerk zu verstehen.

Das gilt übrigens auch für Fragen hinsichtlich des Monotheismus, der Trinität usw., denn es wird da vorausgesetzt ein System der Zahlen: es gibt die Eins, die Zwei usw. Was hat es damit auf sich, und wie kann sich eine Forschung dem zuwenden, wenn sie das Zahlensystem schon voraussetzt, voraussetzen muß?

Diese Frage ist auch an die Experten der sog. voraussetzungslosen Erkenntnis zu stellen. Man hat viel schlaue Einwendungen gemacht gegen Kant, aber wie ist es mit den Zahlen? Der Mensch ist notwendigerweise als Erkennender von der Umwelt getrennt, unterscheidet sich von ihr, daher ist er uneins, und im Erkennen wird er eins mit ihr. Das ist aber das System der Zahl. D.h. der Mensch kann nichts wissen ohne die Zahl vorauszusetzen, oder aber sie im Erkennen zumindest mit zu konstituieren. Kann er aber auch wissen, wie die Wahrheit oder Realität jenseits eines Zahlenrasters aussieht?

Es handelt sich bei dieser schwierigen Erkenntnisfrage nicht etwa um eine fragliche erste richtige, bestimmte Unterscheidung, wie sie das Denken trifft, etwa die zwischen Subjekt und Objekt. Wenn das Denken wohl jenseits solcher bestimmter Unterscheidung liegt, denn es bringt diese erst hervor, so kann das Denken doch nichts anderes hervorbringen als eine Unterscheidung. Das Denken kann nicht zuerst die Einheit denken. Es beginnt notwendigerweise mit der Zwei. Insofern ist die traditionelle Auffassung, daß das Denken aus einem Subjektiven anhebe, nachvollziebar, denn das Denken beginnt aus dem Unterschied zur Welt, und nicht aus einer Einheit der Welt. Im Erkennen findet es wohl zur Einheit zurück, kann aber diese Differenz selbst damit nicht fassen. Der Monismus ist insofern genauso wie der Dualismus eine dogmatische Position, denn nicht nur die Idee der Einheit wirbt suggestiv für ihren Vorrang, sondern auch die Idee einer ursprünglichen Differenz, aus der allein Welt entstehen konnte, hat Plausibilität. Welt wäre demnach in ihrer Grundstruktur dualistisch.

Die weiteren apriorischen Denknotwendigkeiten führen dann entweder zum Paradox, einer ursprünglichen Einheit der Eins und der Zwei[1], oder, wie es auch die Zahlenfolge angibt, zur Dreiheit. Im Begriff des Paradoxes ist freilich schon enthalten, was den Zahlen als solchen nicht zukommt: Das Moment der Spannung, der Übergang und die Prozeßförmigkeit, der Bewegungscharakter des Denkens. Die Dreiheit entspricht im dialektischen Denken der Synthese. In der Dreiheit oder Synthese kommt das Denken zu einer ersten Ruhe, weshalb der dritte Gott der Trinität, der heilige Geist, auch mit Frieden assoziiert ist.

Insofern man zwischen Form und Struktur unterscheiden will, ist die Zahl eher der Struktur zuzuordnen, ihre geometrische Entsprechung (Punkt, Linie, Fläche, Tetraeder usw.) der Form. Gestalt ist ein Begriff, den man der Struktur und der Form gleichermaßen zuordnen kann, oder, über sie hinausgehend, ihrem Zusammenspiel[2].

„Aber warum können wir denn überhaupt zählen? Ja, in Wirklichkeit machen wir es nämlich nicht anders als die Wilden, nur haben die Wilden das mit ihren fünf Fingern gemacht, mit ihren fünf physischen Fingern. Wir zählen auch, nur zählen wir mit den Fingern unseres Ätherleibes und wissen nichts mehr davon. Das spielt sich im Unterbewußtsein ab, da abstrahieren wir. Denn dasjenige, wodurch wir zählen, das ist eigentlich der Ätherleib, und eine Zahl ist noch immer nichts anderes in Wirklichkeit als ein Vergleichen mit demjenigen, was in uns ist. Die ganze Arithmetik ist in uns, und wir haben sie in uns hineingeboren durch unseren Astralleib, so daß sie eigentlich aus unserem Astralleib herauskommt, und unsere zehn Finger sind nur der Abdruck dieses. Astralischen und Ätherischen. Und dieser beiden bedient sich nur dieser äußere Finger, während wir, wenn wir rechnen, dasjenige, was durch den Astralleib bewirkt Inspiration von der Zahl, im Ätherleib ausdrücken und dann durch den Ätherleib, mit dem wir überhaupt denken, zählen. So daß wir sagen können: Äußerlich ist heute für uns das Zählen etwas recht Abstraktes, innerlich hängt es damit zusammen - und es ist sehr interessant, die verschiedenen Zählungsmethoden nach der Zehnzahl, nach dem Dezimalsystem oder nach der Zwölfzahl bei den verschiedenen Völkern zu verfolgen, wie das mit der verschiedenen Konstitution ihres Ätherischen und Astralischen zusammenhängt - , innerlich hängt es damit zusammen, daß wir zählen, weil wir selbst erst gezählt sind; wir sind aus der Weltenwesenheit heraus gezählt und nach der Zahl geordnet. Die Zahl ist uns eingeboren, einverwoben von dem Weltenganzen. Draußen werden uns nach und nach die Zahlen gleichgültig; in uns sind sie nicht gleichgültig, in uns hat jede Zahl ihre bestimmte Qualität. Versuchen Sie es nur einmal, die Zahlen herauszuwerfen aus dem Weltenall, und sehen Sie sich an, was der Zahl gemäß gestaltet wird, wenn einfach eins zu dem anderen hinzugesetzt würde; sehen Sie sich an, wie dann Ihre Hand ausschauen würde, wenn da der Daumen wäre, und nachher würde einfach das Nächste hinzugesetzt als die gleiche Einheit, dann wiederum, wiederum: Sie hätten fünf Daumen an der Hand, an der anderen Hand auch wiederum fünf Daumen! - Das würde dann entsprechen dem abstrakten Zählen.

So zählen die Geister des Weltenalls nicht. Die Geister des Weltenalls gestalten nach der Zahl und sie gestalten in jenem Sinne nach der Zahl, den man früher mit der Zahl verband, wie gesagt, noch in der ersten, noch in der zweiten Periode der nachatlantischen Zeit. Das Herausentwickeln der abstrakten Zahl aus der ganz konkreten Vorstellung des Zahlenhaften, des Zahlenmäßigen, das hat sich erst im Laufe der Menschheitsentwickelung gebildet. Und darüber muß man sich klar sein, daß es eine tiefe Bedeutung hat, wenn aus den alten Mysterien heraus überliefert wird: Die Götter haben den Menschen nach der Zahl gebildet. - Die Welt ist voller Zahl, das heißt, alles wird nach der Zahl gebildet, und der Mensch ist nach der Zahl herausgestaltet, so daß unser Zählen in jenen alten Zeiten nicht vorhanden war; aber ein bildhaftes Denken in den Qualitäten der Zahl, das war vorhanden.“ (Lit.:GA 204, S. 134f)

Positive und negative Zahlen

Eine positive Zahl ist größer Null, eine negative Zahl kleiner Null.

Zahlbereiche

Übersicht über einige gängige Zahlbereiche.LaTeX: A\subset B bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches LaTeX: A unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs LaTeX: B aufgefasst werden können. Echte Klassen sind in blau markiert.

Natürliche Zahlen

Die ursprünglichen, zum Zählen verwendeten Zahlen sind die natürlichen Zahlen LaTeX: \mathbb N, zu denen je nach Definition auch die 0 gezählt wird:

LaTeX: \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\} \qquad bzw. LaTeX: \qquad \mathbb N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}

Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen LaTeX: \mathbb Z erweitern die natürlichen Zahlen (inklusive Null) um den Bereich der negativen ganzen Zahlen, d.h.:

LaTeX: \mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen LaTeX: \mathbb Q umfassen alle Zahlen, die als Brüche bzw. als Verhältnis (lat. ratio) ganzer Zahlen dargestellt werden können; sie heißen daher auch Bruchzahlen. Die ganzen Zahlen LaTeX: \mathbb Z und die natürlichen Zahlen sind im Bereich von LaTeX: \mathbb Q inkludiert.

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen LaTeX: \mathbb R erweitern die rationalen Zahlen LaTeX: \mathbb Q um den Bereich der reellen irrationalen Zahlen.

Irrationale Zahlen

Die irrationalen Zahlen lassen sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen und damit auch nicht als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen. Dabei werden zwei Arten von irrationalen Zahlen unterschieden:

Algebraische Zahlen

Die algebraischen Zahlen LaTeX: \mathbb\A umfassen alle reellen oder komplexen Zahlen, die Nullstellen eines Polynoms vom Grad größer Null, also Lösungen folgender Gleichung sind:

LaTeX:  f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 = 0 \qquad x \in \mathbb\R, \in a_i\in \mathbb\Q, i \in \mathbb\N_0

Dazu zählen alle nicht-rationalen Wurzelzahlen, also etwa alle Quadratwurzel aus Nicht-Quadratzahlen, z.B. LaTeX: \sqrt{2}  = 1{,}414213562 \dots

Transzendente Zahlen

Alle nicht-algebraischen irrationalen Zahlen werden zusammenfassen als transzendente Zahlen bezeichnet, z.B. die Kreiszahl LaTeX: \pi = 3{,}14159\ldots oder die Eulersche Zahl LaTeX: e = 2{,}71828\ldots

Komplexe Zahlen

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)
Darstellung der Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen entspricht der Addition ihrer Winkel und der Multiplikation ihrer Beträge
Die Division zweier komplexer Zahlen entspricht der Subtraktion ihrer Winkel und der Division ihrer Beträge

Die komplexen Zahlen LaTeX: \mathbb C erweitern den Bereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung LaTeX: x^2 + 1 = 0 lösbar wird. Dazu wird symbolisch eine imaginäre Einheit LaTeX: i eingeführt, für die gilt: LaTeX: i = \sqrt{-1} bzw. LaTeX: i^2 = -1

Eine Zahl der Form LaTeX: i \cdot b wird als imaginäre Zahl bezeichnet.

Jede komplexe Zahl lässt sich dann in allgemeiner Form so darstellen:

  • LaTeX: z = a + i \cdot b \qquad a,b \in \mathbb R

wobei LaTeX: a der Realteil und LaTeX: b der Imaginärteil von LaTeX: z ist, wofür folgende Schreibweisen gebräuchlich sind:

  • LaTeX: a = \operatorname{Re}{(a + b\,\mathrm i)} und LaTeX: b = \operatorname{Im}{(a + b\,\mathrm i)}
  • LaTeX: a = \Re{(a + b\,\mathrm i)} und LaTeX: b = \Im{(a + b\,\mathrm i)}

Graphisch lassen sich komplexe Zahlen und die mit ihnen ausgeführten Rechenoperationen gut in einem zweidimensionalen Diagramm, der sogenannten komplexen Ebene - auch Gaußsche Zahlenebene genannt - veranschaulichen.

Anstelle des Kartesischen Koordinaten LaTeX: {a,b} kann man dazu sehr gut auch Polarkoordinaten LaTeX: r,\varphi} verwenden. Mit dem Betrag LaTeX: \ r = |z| und dem Winkel LaTeX: \varphi = \arg(z) lässt sich mit der eulerschen Relation folgende Polardarstellung formulieren, die sich aus LaTeX: a = r \cdot \cos \varphi und LaTeX: b = r \cdot \sin \varphi ergibt:

  • LaTeX: z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)

Hyperkomplexe Zahlen

Die hyperkomplexen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen auf mehrdimensionale komplexe Räume, die mehr als eine komplexe Komponente enthalten:

  • LaTeX:  a = a_0 + a_1\mathrm i_1 + \dotsb + a_n\mathrm i_n mit LaTeX: i_n = \sqrt{-1}

Quaternionen

Die hyperkomplexen Zahlen schlechthin sind die ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton[3] entwickelten Quaternionen LaTeX: \mathbb H, die deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen bezeichnet werden. Sie haben die allgemeine Form:

  • LaTeX: x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k mit LaTeX: \mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1

Die überimaginären Zahlen, wie die Quaternionen früher auch genannt wurden, repräsentieren nach Rudolf Steiner das menschliche Ich:

„Und wenn man nun wirklich eingeht im Gebiet der höheren Wirklichkeit auf das Physisch-Wirkliche, und man bezeichnet das Physisch-Wirkliche mit dem positiven Vorzeichen, so ist man genötigt, einfach das Ätherische, das wirkliche Ätherische, wobei man aus dem Räumlichen hinauskommt, also in das Geistige schon hineinkommt, mit dem negativen Vorzeichen zu versehen. Will man aber ins Astrale gehen, so kommt man nicht zurecht mit dem Räumlichen und Unräumlichen, sondern man muß eben zum Dritten gehen, das sich zu dem Positiven und Negativen genau so verhält, wie in der formalen Mathematik das Imaginäre zu dem Positiven und Negativen. Und man würde sogar genötigt sein, wenn man von dem Astralen zur wahren Entität des Ich übergeht, genötigt sein, einen Begriff aufzuschreiben, der überimaginär wäre im Verhältnis zum Begriff des Imaginären. Deshalb war mir immer so unsympathisch die Antipathie gegenüber dem Überimaginären, weil beim Aufsteigen zum Ich man den Begriff wirklich nötig hat. Es ist nicht möglich, ihn auszulassen - es handelt sich nur darum, ob man ihn in der rechten Weise anwendet, wenn man im rein Formalen der Mathematik bleibt -, wenn man so richtig vorgeht mit den mathematischen Formulierungen, daß man nicht aus dem Wirklichen herauskommt.“ (Lit.:GA 324a, S. 151)

Die geistige Realität der Zahlen

"Sehen Sie, hier in der physisch-sinnlichen Welt kann man zählen: eins, zwei, drei; man kann sogar - wenn auch nicht gerade jetzt - Geld zählen in der physisch-sinnlichen Welt; aber das Zählen hat in der geistigen Welt nicht eigentlich einen Sinn. Da bedeutet die Zahl nichts Besonderes, da ist alles mehr oder weniger Einheit, und jene Unterscheidung, die man haben muß zwischen den Dingen, wenn man sie zählt, wo eins neben dem anderen sein muß, gibt es nicht in der geistigen Welt." (Lit.: GA 239, S. 156)

"Verstehen kann ich die Welt eigentlich nur, wenn ich sie mit Bezug auf die Dreizahl ins Auge fasse. Denn wir haben auf der einen Seite alles dasjenige, was luziferisch ist, auf der anderen Seite alles dasjenige, was ahrimanisch ist, mitten hineingestellt den Menschen, der als ein Drittes, wie im Gleichgewichtszustande zwischen beiden, sein Göttliches empfinden muß."[4] (Lit.: GA 194, S. 18)

"Die Zwei nennt man im Okkultismus die Zahl der Offenbarung. Mit der Zahl Zwei bekommen wir sozusagen schon etwas Boden unter die Füße, während wir bei der Zahl Eins noch ziemlich im Bodenlosen herumtappen. Wenn wir sagen: Zwei ist die Zahl der Offenbarung -, dann heißt das nichts anderes als: Alles, was uns in der Welt entgegentritt, was nicht in irgendeiner Beziehung verborgen ist, sondern heraustritt in die Welt, steht irgendwie in der Zweiheit. Sie werden nämlich die Zahl Zwei überall in der Natur verbreitet finden. Es kann sich nichts offenbaren, ohne die Zahl Zwei zu berühren. Licht kann sich niemals für sich allein als Einheit offenbaren. Wenn sich Licht offenbart, muß auch Schatten oder Dunkelheit dabei sein, es muß also eine Zweiheit da sein. Es könnte niemals eine Welt geben, die mit offenbartem Licht erfüllt wäre, wenn es nicht auch dementsprechenden Schatten gäbe. Und so ist es mit allen Dingen. Nie könnte sich das Gute offenbaren, wenn es nicht als Schattenbild das Böse hätte. Die Zweiheit von Gut und Böse ist eine Notwendigkeit in der offenbaren Welt. Solche Zweiheiten gibt es unendlich viele, sie erfüllen die ganze Welt, wir müssen sie nur an der richtigen Stelle aufsuchen." (Lit.: GA 101, S. 170)

Geistig beschaut, offenbaren die Zahlen ihr Wesen durch ihre spezifischen, unverwechselbaren qualitativen gestaltenden Eigenschaften. So wirkt etwa die Dreizahl vornehmlich gestaltend in der Seelenwelt, die Siebenzahl in der Ätherwelt und in der Ordnung des Zeitenlaufs und die Zwölfzahl in der Gestaltung des Raumes in der physischen Welt.

„Der Laie in solchen Dingen wird sehr leicht sagen, wenn er hört, daß die Siebenzahl und andere Zahlen eine so große Rolle spielen in unseren Betrachtungen: Nun ja, diese Anthroposophen wärmen wieder jenen alten Aberglauben auf, der sich an die Siebenzahl, an die Zwölfzahl und dergleichen knüpft. — Und schon wenn unsere lieben Zeitgenossen von so etwas hören, was in einer regelmäßigen Weise nach der Siebenzahl vorwärtsschreitet, dann sprechen sie von Aberglauben, obwohl diese unsere Zeitgenossen eigentlich in bezug auf das, wovon sie etwas verstehen, in genau demselben Aberglauben leben, denn unsere Zeitgenossen sprechen zum Beispiel davon, daß der Regenbogen sieben Farben hat, die Tonskala sieben Töne, da der achte nur eine Wiederholung der Prim ist. Und noch auf manch anderem Gebiete spricht man von der Siebenzahl, und mit Recht. In keinem anderen Sinne als der Physiker es tut, wenn er von der Siebenzahl der Farben spricht, und ebenso wie man in der Tonlehre spricht von den sieben Tönen, so sprechen wir, wenn wir die großen Weltenverhältnisse betrachten in bezug auf die Siebenzahl. Die Siebenzahl ist uns dabei gar nichts anderes als ein Ergebnis der okkulten Erfahrung. So wie sich der Mensch hinstellt und die sieben Farben zählt, so zählt der Okkultist sieben aufeinanderfolgende Zustände der Weltenentwickelung. Und weil die Weisheit der Welt immer von diesen Dingen wußte und sprach, deshalb ging das in das allgemeine Bewußtsein über und man fand etwas besonders Bedeutungsvolles in dieser Siebenzahl. Gerade weil die Siebenzahl zum Beispiel in den Weltverhältnissen begründet war, ging sie in den allgemeinen Glauben, natürlich auch Aberglauben, über.“ (Lit.:GA 104, S. 191f)

Man kann diese Aussagen Steiners wohl dahin gehend interpretieren, daß er die Zahlenförmigkeit der Welt als eine objektive ansieht. Die Zahlenförmigkeit ist ein objektiv gegebenes Faktum der realen Welt, und nicht etwa nur ein kategoriales Raster. Er spricht allerdings von der Welt als einer "offenbaren". Gemeint ist wohl eine für den Menschen offenbare Welt. Es könnte aber auch die Welt gemeint sein als eine entäußerte.

Eine Unterscheidung von Quantität und Qualität mit Bezug auf die Zahlheit ist insofern problematisch, als solche Unterscheidung die Zahl schon voraussetzt. Die grundsätzliche Qualität von Zahlheit dürfte doch das Quantitative sein. Will man von einem besonderen Qualitativen der Zahl sprechen, müßte solche Qualität noch der Unterscheidung von Qualität und Quantität vorgelagert sein. Dies ist jedoch in quantitativem Aspekt der Unterschied zwischen eins und zwei, entspricht also dem Wesen der Zahl. In der Zahl sind Qualität und Quantität zweierlei und sind es doch nicht, weil die Zahlheit als solche beide, die Einheit und die Zweiheit, umfaßt. Eine Zahl ist jedoch nichts für sich allein, sie ist es mit Bezug auf anderes, speziell andere Zahlen. Dieser Bezug unterscheidet sich bei den verschiedenen Zahlen. Die Zwei hat einen anderen Bezug zur Eins als die Drei. In diesem Beziehungscharakter, in den Zahlenverhältnissen könnte der Grund des "Qualitativen" zu suchen sein. Die Beziehungshaftigkeit ist jedoch nur möglich aufgrund eines Einheitlichen, zahlenmäßig ausgedrückt durch die Eins, in der die anderen Zahlen enthalten sind, aber sich als Zahlen von ihr unterscheiden.

„Wir sind ja im Verlaufe der Zivilisation allmählich dazu gekommen, das Arbeiten mit Zahlen in einer gewissen synthetischen Weise zu behandeln. Wir haben eine Einheit, eine zweite Einheit, eine dritte Einheit, und wir bemühen uns, im Abzählen, im additiven Elemente das eine zu dem anderen hinzuzufügen, so daß dann das eine neben dem anderen liegt, indem wir zählen. Dafür bringt uns, wie man sich wird überzeugen können, das Kind nicht ein innerliches Verständnis entgegen. In dieser Weise hat sich wiederum nicht das elementar Menschliche zum Zählen hin entwickelt. Das Zählen ging allerdings aus von der Einheit; die Zwei war aber nicht ein äußerliches Wiederholen der Einheit, sondern sie lag in der Einheit darinnen. Die Eins gibt die Zwei, und die Zwei sind in der Eins drinnen. Die Eins geteilt, gibt die Drei, und die Drei sind in der Eins darinnen. Fing man an zu schreiben ins Moderne umgesetzt: eins, so kam man aus der Einheit nicht heraus, indem man zur Zwei kam. Es war ein innerlich organisches Bilden, indem man zur Zwei kam, und die Zwei war in der Einheit drinnen; ebenso die Drei und so weiter. Die Einheit umfaßte alles, und die Zahlen waren organische Gliederungen der Einheit.“ (Lit.:GA 303, S. 171)

Neben dem quantitativen und qualitativen Aspekt soll es noch einen weiteren geben: Die Zahl als Zeitgestalt (Rhythmus)[5].

Zahlen und Zahlenmystik

- Die innere Systematik der Zahlen in der Zahlenmystik ist 7, 10 und 22.

Siehe auch

Literatur

  • Ernst Bindel: Die geistigen Grundlagen der Zahlen. Die Zahl im Spiegel der Kulturen. Elemente einer spirituellen Geometrie und Arithmetik. Freies Geistesleben, Stuttgart 1958

(Anhand vieler kulturhistorischer Dokumente stellt der Autor die Entwicklung des Zahlenverständnisses vom Altertum bis zur Neuzeit dar und zeigt, wie berechtigt es ist, von den spezifischen Qualitäten der Zahlen zu sprechen. [Eine lebendige Einführung in die Kulturgeschichte der Zahl]. (...)Allgemeinverständlich und kenntnisreich schildert der Autor diese Zahlengeheimnisse und breitet eine Fülle von Beispielen aus. Dabei geht er immer von den Gesetzmäßigkeiten der Zahlen selbst aus: Anschaulich entwickelt er ihre Qualitäten an geometrischen Konstruktionen und aus den mathematischen Verhältnissen heraus. Die Zahlenwelt stellt sich dann als eine sinnvoll strukturierte Ganzheit dar. ) (aus dem Klappentext[2])

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Einzelnachweise

  1. "Die sorgfältige Beschreibung des Veränderungsphänomens führt in ein Widerspruchsproblem. Veränderung muss nämlich als ein Zugleich von Identität und Nicht-Identität ausgesagt werden. Wenn sich etwas verändert, bleibt es dasselbe und ist doch zugleich nicht dasselbe. Veränderung besteht also in einer Einheit voneinander ausschließenden Gegensätzen und stellt ein Beispiel dafür dar, dass alles in der Welt (und auch die Welt als ganze) die Struktur einer Einheit von Gegensätzen aufweist. Hierin liegt die letzte logisch-ontologische Erklärungsbedürftigkeit der Welt, weil angegeben werden können muss, wie sich ein Widerspruchsproblem von einem echten Widerspruch, der durch die universale Geltung des Nichtwiderspruchsprinzips ausgeschlossen ist, unterscheiden lässt." (Zitat aus wikipedia: Veränderung)
  2. Der Begriff des Spiels ist andererseits umfassender, enthält die Komponente Bewegung.
  3.  Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7 Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 30.
  4. Diese Dreiheit hat Rudolf Steiner auch in seiner Skulptur des Menschheitsrepräsentanten Christus, zwischen Luzifer und Ahriman, dargestellt, die im Goetheanum steht.
  5. Peter Schönfeld: Wie lernen Kinder Rechnen? Das starke Gefühl: Ich kann rechnen! Prisma 2/2002, Waldorfschule Chemnitz, S. 7f. [1]