Kreiszahl

Der griechische Kleinbuchstabe Pi ist das Symbol der Kreiszahl.

Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat den Umfang $\pi$.

Die Kreiszahl $\pi$ (Pi), auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. $\pi$ ist eine transzendente und somit auch irrationale Zahl. Die Dezimalbruchentwicklung der Kreiszahl beginnt mit $\pi =3{,}1415926\ldots ,$ wobei bei praktischen Berechnungen vielfach von $\pi$ lediglich drei signifikante Stellen verwendet werden: $\pi \approx 3{,}14$.

Die Kreiszahl tritt nicht nur in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien Bedeutung. Beispielsweise lässt sich durch sie die Lösung des klassischen Basler Problems mit der Theorie der Fourierreihen verknüpfen.

Geschichte der Bezeichnung

Die Kreiszahl und manche ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt.

Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi ($\pi$) (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ oder περίμετρος – perimetros, „Umfang“) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit ${\tfrac {\pi }{\delta }}$ das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. ${\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots$

Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow.

David Gregory nahm ${\tfrac {\pi }{\rho }}$ (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.

Erst im 18. Jahrhundert wurde $\pi$ durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals $\pi$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor $p$ verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Definition

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt $M,$ Radius $r$ und Durchmesser $d$

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl $\pi$ zu definieren.

Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie ist die, wonach die Kreiszahl eine Verhältniszahl ist, die numerisch dem aus dem Umfang $U$ eines Kreises und dem zugehörigen Durchmesser $d$ gebildeten Quotienten $\pi ={\tfrac {U}{d}}$ entspricht. Der zweite Ansatz der Geometrie ist damit verwandt und besteht darin, unter der Kreiszahl den Quotienten $\pi ={\tfrac {A}{r^{2}}}$ zu verstehen, der aus dem Flächeninhalt $A$ eines Kreises und dem Flächeninhalt eines über einem Halbmesser (der Länge $r$) errichteten Quadrates gebildet wird. (Diese Halbmesserlänge bezeichnet man als Kreisradius.) Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie $\pi :4$ verhält.

In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion $\cos(x)$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen. Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.

Zu vielen weiteren Themen siehe auch

• Kreiszahl - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

• Kreiszahl - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

•  Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3).
•  Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.
•  Petr Beckmann: A History of π. St. Martin’s Press, New York City 1976, ISBN 978-0-312-38185-1.
•  Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2.
•  David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch (= rororo). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2001 (Originaltitel: The Joy of Π [pi], übersetzt von Hainer Kober), ISBN 3-499-61176-7.
•  Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X.
•  Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann (= rororo-Sachbuch). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1974, ISBN 3-499-16692-5.
•  Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9.
•  Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen (= dtv-Taschenbuch 4591). 2. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1992 (Originaltitel: Mathematics, übersetzt von Doris Gerstner), ISBN 3-423-04591-4 (Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel).
•  Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
•  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1 (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitet und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67641-4.
•  Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.
•  Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. 41, Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen).
•  Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2.
•  Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3.
•  Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965.
•  Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1982, ISBN 3-411-01613-2.
•  Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.
•  Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X).
•  Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt, ISBN 3-8311-0809-9 ([2001]).
•  Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen. R. Oldenbourg Verlag, München 1956.
•  Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 – Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 – Band 1).
•  Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5.

Weblinks

Commons: Pi - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wiktionary: Kreiszahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen – Die Zahl $\pi$. Bayern α.
• Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl. TU Wien, 3. November 2001.
• Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl.
• The $\pi$-Search Page. Ziffernfolgen innerhalb von $\pi$ suchen.
• Pibel.de. Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit.
• Aktuelle Weltrangliste der $\pi$-Auswendiglerner. Englisch.
• Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π.
• Don Zagier: Zahlentheorie und die Kreiszahl Pi. Gaußvorlesung 2003 in Freiburg (Podcast).

Einzelnachweise

Dieser Artikel wurde am 4. Juli 2004 in dieser Version in die Liste der exzellenten Artikel aufgenommen.