Taylorreihe

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Eine Taylorreihe, benannt nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor (1685-1731), ist eine Potenzreihe, die verwendet wird, um eine glatte Funktion LaTeX: f(x), die nicht durch elementare mathematische Operationen (→ Grundrechenarten) berechnet werden kann (z.B. Exponentialfunktionen, Logarithmen, Trigonometrische Funktionen), als unendliche Summe von Potenzen darzustellen. Die Reihenentwicklung an der Entwicklungsstelle LaTeX: a bezeichnet man als Taylor-Entwicklung der Funktion. Für den Spezialfall LaTeX: a = 0 wird die Taylorreihe auch Maclaurinsche Reihe oder Maclaurin-Reihe genannt.

Definition

Innerhalb eines offenen Intervalls LaTeX: I \subset \R sei eine Funktion LaTeX: f\colon I\rightarrow\R und eine Entwicklungsstelle LaTeX: a gegeben. Die Funktion kann dann an der Entwicklungsstelle wie folgt in eine Taylorreihe entwickelt werden:

LaTeX: T f(x; a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \ldots

LaTeX: f^{(n) bedeutet dabei die LaTeX: n-te Ableitung der Funktion und LaTeX: n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot n = \prod_{k=1}^n k die Fakultät von LaTeX: n.