Matrix (Mathematik)

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Als Matrix (pl. Matrizen; von lat. matrix „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der Mathematik eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. Zahlen, Variablen usw.) bezeichnet, die namentlich in der linearen Algebra zur einfachen Beschreibung linearer Abbildungen und in Form der Koeffizientenmatrix zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen LaTeX: m und der Spalten LaTeX: n bezeichnet dabei den Typ (LaTeX: m \times n) der Matrix. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde erstmals 1850 von dem englichen Mathematiker James Joseph Sylvester (1814-1897) verwendet.

Schreibweise

Die LaTeX: m \times n Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:

LaTeX: \boldsymbol A= (a_{ij}) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} =\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}

Quadratische Matrix

Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix

Eine quadratische Matrix hat LaTeX: n \times n Elemente, d.h. die Zahl der Zeilen ist gleich der Zahl der Spalten ( LaTeX: m = n ).

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix umfasst alle Elemente, die auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen der Matrix liegen (siehe Zeichnung). Parallel dazu liegen die Nebendiagonalen. Die Gegendiagonale verläuft entsprechend von rechts oben nach links unten.

Orthogonale Matrix

Eine orthogonale Matrix ist eine reelle quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren bezüglich des Standardskalarprodukts orthonormal sind.

Determinante

Regel von Sarrus

Die Determinante (von lat. determinare „bestimmen“) ist ein Skalar, d.h. eine Zahl, die aus den Elementen einer quadratischen Matrix errechnet werden kann und hilfreich bei der Lösung linearer Gleichungssysteme ist. Diese sind lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Die Determinante einer 2 x 2-Matrix errechnet sich wie folgt:

LaTeX: \det A=\det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

Für 3 x 3-Matrizen ist die Regel von Sarrus hilfreich (siehe nebenstehendes Schema):

LaTeX: 
\det A &= \det
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} = \\
\\&= a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}

Determinantenproduktsatz

Für alle quadratischen Matrizen LaTeX: A und LaTeX: B gilt der Determinantenproduktsatz:

LaTeX: \det(A\cdot B) = \det A\cdot \det B

Einheitsmatrix

Die Eiheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich eins und alle anderen Elemente gleich null sind:

LaTeX: I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots  & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Spur einer Matrix

Die Spur (eng. Trace) einer quadratischen LaTeX: m \times n-Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente. Für eine Matrix

LaTeX: A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}

ergibt sich also

LaTeX: \operatorname{Spur}(A)=\sum_{j=1}^n a_{jj} = a_{11}+a_{22}+\dotsb+a_{nn}

Transponierte Matrix

Animation zur Transponierung einer Matrix

Aus einer Matrix LaTeX: A

LaTeX: A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

ergibt sich die transponierte Matrix LaTeX: A^\mathrm{T} durch Vertauschung der Zeilen und Spalten (was ihrer Spiegelung an der Hauptdiagonalen entspricht):

LaTeX: A^\mathrm{T} = (a_{ji}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

Die transponierte Matrix hat dieselbe Determinante wie die Matrix:

LaTeX: \det A=\det A^T

Matrizenaddition

Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: LaTeX: c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}

Die Matrizenaddition ist die additive Verknüpfung von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die Summenmatrix (auch Matrixsumme oder Matrizensumme) wird durch die komponentenweise Addition der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:


LaTeX: \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}


Die Matrixaddition gehorcht dem Assoziativgesetz, dem Kommutativgesetz und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem Distributivgesetz. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine Gruppe, deren neutrales Element die Nullmatrix ist, deren Elemente alle gleich Null sind:

LaTeX: 0_{mn} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

Matrizenmultiplikation

Bei der Matrizenmultiplikation werden die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.

Die multiplikative Verknüpfung von Matrizen wird als Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Matrizenprodukt bzw. Matrixprodukt ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der Produktmatrix LaTeX: C werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix LaTeX: A komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix LaTeX: B multipliziert und die Ergebnisse summiert werden, d.h.:

LaTeX: c_{ik} = \sum_{j=1}^m a_{ij} \cdot b_{jk}

Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem Assoziativgesetz, aber - von speziellen Fällen abgesehen - nicht dem Kommutativgesetz, d.h. LaTeX: \mathbf A \cdot \mathbf B \not= \mathbf B \cdot \mathbf A. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation distributiv.

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation quadratischer Matrizen ist die Einheitsmatrix.

Siehe auch

Literatur

  • Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik, 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8