Rechnen

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Rechnen (mhd. rechnen, rechenen; ahd. rechanon, von indogerm. *reg- „lenken, richten, leiten“) ist eine menschliche Fähigkeit, die eine komplexere Form des Zählens darstellt, bei der Mengen nicht nur abgezählt, sondern etwa auch auf auf eine festgelegte Anzahl von Teilen aufgeteilt (Division, Teilung), zusammengezählt (Addition), vervielfacht (Multiplikation) oder voneinander abgezählt (Subtraktion) werden. Ganz allgemein handelt es sich dabei implizit um die logische Verküpfung zunächst konkreter und später auch abstrakter, d.h. rein gedanklicher Objekte.

Ursprung der Rechenkunst

Nach Rudolf Steiner wurde das Rechnen in seiner elementarsten Form erstmals von den Ur-Semiten in der atlantischen Zeit entwickelt und brachte nicht nur einen Fortschritt der praktischen Denkfähigkeit, sondern hatte darüber hinaus vor allem auch eine große moralische Bedeutung. Die Atlantier, namentlich die Ur-Turanier, hatten damals bereits eine große magische Macht über die Lebenskräfte gewonnen und stellten diese immer mehr in den Dienst des persönlichen Egoismus, wodurch zerstörerische Kräfte freigesetzt wurden, die zuletzt zum Untergang der Atlantis führten. Durch die Ursemiten wurde die Basis für die nachatlantische Kultur geschaffen.

„Solche zerstörende Wirkung konnte nur dadurch aufgehalten werden, daß im Menschen sich eine höhere Kraft ausbildete. Und das war die Denkkraft. Das logische Denken wirkt zurückhaltend auf die eigensüchtigen persönlichen Wünsche. Den Ursprung dieses logischen Denkens haben wir bei der fünften Unterrasse[1] (den Ursemiten) zu suchen. Die Menschen fingen an, über die bloße Erinnerung an Vergangenes hinauszugehen und die verschiedenen Erlebnisse zu vergleichen. Die Urteilskraft entwickelte sich. Und nach dieser Urteilskraft wurden die Wünsche, die Begierden geregelt. Man fing an, zu rechnen, zu kombinieren. Man lernte, in Gedanken zu arbeiten. Hat man früher sich jedem Wunsche hingegeben, so frägt man jetzt erst, ob der Gedanke den Wunsch auch billigen könne. Stürmten die Menschen der vierten Unterrasse wild los auf die Befriedigung ihrer Begierden, so begannen diejenigen der fünften auf eine innere Stimme zu hören. Und diese innere Stimme wirkt eindämmend auf die Begierden, wenn sie auch die Ansprüche der eigensüchtigen Persönlichkeit nicht vernichten kann.

So hat die fünfte Unterrasse die Antriebe zum Handeln in das menschliche Innere verlegt. Der Mensch will in diesem seinem Innern mit sich ausmachen, was er zu tun oder zu lassen hat. Aber das, was so im Innern an Kraft des Denkens gewonnen wurde, ging an Beherrschung äußerer Naturgewalten verloren. Mit diesem kombinierenden Denken kann man nur die Kräfte der mineralischen Welt bezwingen, nicht die Lebenskraft. Die fünfte Unterrasse entwickelte also das Denken auf Kosten der Herrschaft über die Lebenskraft. Aber gerade dadurch erzeugte sie den Keim zur Weiterentwickelung der Menschheit. Jetzt mochte die Persönlichkeit, die Selbstliebe, ja die Selbstsucht noch so groß werden: das bloße Denken, das ganz im Innern arbeitet und nicht mehr unmittelbar der Natur Befehle erteilen kann, vermag solche verheerende Wirkungen nicht anzurichten wie die mißbrauchten früheren Kräfte. Aus dieser fünften Unterrasse wurde der begabteste Teil ausgewählt, und dieser lebte hinüber über den Niedergang der vierten Wurzelrasse und bildete den Keim zur fünften, der arischen Rasse, welche die vollständige Ausprägung der denkenden Kraft mit allem, was dazu gehört, zur Aufgabe hat.“ (Lit.:GA 11, S. 40f)

„Der Mensch von heute kann sich kaum mehr eine Vorstellung davon machen, welche Ausdehnung das Gedächtnis bei den Atlantiern gehabt hat. Rechnen konnten sie nur wenig. Alles beruhte auf dem Zusammenhang, den sie sich aus dem Gedächtnis heraus bildeten. Zum Beispiel drei mal sieben wußten sie aus dem Gedächtnis, nicht aber konnten sie es errechnen. Sie kannten kein Einmaleins. Eine andere Kraft, welche bei ihnen ausgebildet war, die aber noch schwieriger zu verstehen ist, war die, daß sie auf die Lebenskraft selbst einen gewissen Einfluß hatten. Durch eine besondere Ausbildung der Willenskraft konnten sie auf das Lebendige einen unmittelbaren Einfluß gewinnen, so zum Beispiel auf das Wachstum einer Pflanze.“ (Lit.:GA 53, S. 300)

„Der logische Verstand, die rechnerische Kombination, auf denen alles beruht, was heute hervorgebracht wird, fehlten den ersten Atlantiern ganz. Dafür hatten sie ein hochentwickeltes Gedächtnis. Dieses Gedächtnis war eine ihrer hervorstechendsten Geistesfähigkeiten. Sie rechneten zum Beispiel nicht, wie wir, dadurch, daß sie sich gewisse Regeln aneigneten, die sie dann anwendeten. Ein «Einmaleins» war etwas in den atlantischen Zeiten ganz Unbekanntes. Niemand hatte seinem Verstande eingeprägt, daß dreimal vier zwölf ist. Daß er sich in dem Falle, wo er eine solche Rechnung auszuführen hatte, zurechtfand, beruhte darauf, daß er sich auf gleiche oder ähnliche Fälle besann. Er erinnerte sich, wie das bei früheren Gelegenheiten war. Man muß sich nur klarmachen, daß jedesmal, wenn sich in einem Wesen eine neue Fähigkeit ausbildet, eine alte an Kraft und Schärfe verliert. Der heutige Mensch hat gegenüber dem Atlantier den logischen Verstand, das Kombinationsvermögen voraus. Das Gedächtnis ist dafür zurückgegangen. Jetzt denken die Menschen in Begriffen; der Atlantier dachte in Bildern. Und wenn ein Bild vor seiner Seele auftauchte, dann erinnerte er sich an so und so viele ähnliche Bilder, die er bereits erlebt hatte. Danach richtete er sein Urteil ein. Deshalb war damals auch aller Unterricht anders als in späteren Zeiten. Er war nicht darauf berechnet, das Kind mit Regeln auszurüsten, seinen Verstand zu schärfen. Es wurde ihm vielmehr in anschaulichen Bildern das Leben vorgeführt, so daß es später sich an möglichst viel erinnern konnte, wenn es in diesen oder jenen Verhältnissen handeln sollte. War das Kind erwachsen und kam es ins Leben hinaus, so konnte es sich bei allem, was es tun sollte, erinnern, daß ihm etwas Ähnliches in seiner Lehrzeit vorgeführt worden war. Es fand sich am besten zurecht, wenn der neue Fall irgendeinem schon gesehenen ähnlich war. Unter ganz neuen Verhältnissen war der Atlantier immer wieder aufs Probieren angewiesen, während dem heutigen Menschen in dieser Beziehung vieles erspart ist, weil er mit Regeln ausgerüstet wird. Diese kann er auch in den Fällen leicht anwenden, welche ihm noch nicht begegnet sind. Ein solches Erziehungssystem gab dem ganzen Leben etwas Gleichförmiges. Durch sehr lange Zeiträume hindurch wurden immer wieder und wieder die Dinge in der gleichen Weise besorgt. Das treue Gedächtnis ließ nichts aufkommen, was der Raschheit unseres heutigen Fortschrittes auch nur im entferntesten ähnlich wäre. Man tat, was man früher immer «gesehen» hatte. Man erdachte nicht; man erinnerte sich. Eine Autorität war nicht der, welcher viel gelernt hatte, sondern wer viel erlebt hatte und sich daher an viel erinnern konnte. Es wäre unmöglich gewesen, daß in der atlantischen Zeit jemand vor Erreichung eines gewissen Alters über irgendeine wichtige Angelegenheit zu entscheiden gehabt hätte. Man hatte nur zu dem Vertrauen, der auf lange Erfahrung zurückblicken konnte.

Das hier Gesagte gilt nicht von den Eingeweihten und ihren Schulen. Denn sie sind ja dem Entwickelungsgrade ihres Zeitalters voraus. Und für die Aufnahme in solche Schulen entscheidet nicht das Alter, sondern der Umstand, ob der Aufzunehmende in seinen früheren Verkörperungen sich die Fähigkeiten erworben hat, höhere Weisheit aufzunehmen. Das Vertrauen, das den Eingeweihten und ihren Agenten während der atlantischen Zeit entgegengebracht worden ist, beruhte nicht auf der Fülle ihrer persönlichen Erfahrung, sondern auf dem Alter ihrer Weisheit. Beim Eingeweihten hört die Persönlichkeit auf, eine Bedeutung zu haben. Er steht ganz im Dienste der ewigen Weisheit.“ (Lit.:GA 11, S. 26ff)

Fingerrechnen und Kopfrechnen

Zählen und Rechnen ist primäre keine Tätigkeit des Kopfes, des Gehirns, sondern wird mit dem ganzen Körper erlebt und das Gehirn spiegelt diese Erlebnisse nur ab. Wenn wir als Erwachsener auch nicht mehr äußerlich mit den Fingern zählen, so tun wir es doch mit den Fingern des Ätherleibs. Das sog. „Kopfrechnen“ ist also ein verinnerlichtes Zählen und Rechnen mit den Ätherfingern. Dazu kommt später das Einmaleins, mit dem Zahlenrhythmen gedächtnismäßig im Ätherleib verankert werden.

Da der Mensch zehn Finger hat, ergibt sich daraus auch die Präferenz für das Dezimalsystem. Aber auch in dem später von den Sumerern und Babyloniern entwickelten Sexagesimalsystem (60er-System), das wir heute noch für die Zeit- und Winkelberechnung verwenden, kann gut mit den 10 Fingern gerechnet werden.

„Der Mensch glaubt gewöhnlich, er habe die Zahlen ausgedacht, indem er immer eins zum andern hinzugefügt hat. Das ist aber gar nicht wahr, der Kopf zählt überhaupt nicht. Man glaubt im gewöhnlichen Leben gar nicht, welch ein merkwürdiges, unnützes Organ für das Erdenleben dieser menschliche Kopf eigentlich ist. Er ist zur Schönheit da, gewiß, weil das Antlitz den anderen gefällt. Er hat noch mancherlei andere Tugenden, aber zu den geistigen Tätigkeiten ist er eigentlich gar nicht so stark da, denn dasjenige, was er geistig in sich hat, führt immer zurück in das frühere Erdenleben; er ist das umgestaltete frühere Erdenleben. Und einen richtigen Sinn hat es eigentlich nur dann für den Menschen, einen Kopf zu haben, wenn er etwas weiß von seinen früheren Erdenleben. Alles andere kommt gar nicht aus dem Kopf. Wir zählen nämlich in Wirklichkeit im Unterbewußten nach den Fingern. In Wirklichkeit zählen wir 1-10 an den Fingern und 11, 12, 13, 14 an den Zehen weiter. Das sieht man zwar nicht, aber man macht das so bis 20. Und dasjenige, was man im Körper auf diese Weise tut, das spiegelt sich im Kopfe nur ab. Der Kopf schaut nur bei allem zu. Der Kopf im Menschen ist wirklich nur ein Spiegelungsapparat von dem, was der Körper macht. Der Körper denkt, zählt; der Kopf ist nur ein Zuschauer.

Dieser Kopf hat eine merkwürdige Ähnlichkeit mit etwas anderem. Wenn Sie hier ein Auto haben (es wird gezeichnet) und Sie sitzen bequem darinnen, so tun Sie gar nichts, der Chauffeur da vorne muß sich plagen. Sie sitzen drinnen und werden durch die Welt gefahren. So ist es auch mit dem Kopf; der plagt sich nicht, der ist einfach auf Ihrem Körper, läßt sich ruhig durch die Welt tragen und schaut allem zu. Dasjenige, was getan wird im geistigen Leben, das wird alles vom Körper aus gemacht. Mathematisiert wird vom Körper aus, gedacht wird auch vom Körper aus, gefühlt wird auch vom Körper aus. - Die Rechenmaschine entspringt eben dem Irrtum, als ob der Mensch mit dem Kopf rechnete. Man bringt dann dem Kinde mit der Rechenmaschine die Rechnungen bei, das heißt, man strengt seinen Kopf an, und der Kopf strengt dann damit den Körper an, denn rechnen muß doch der Körper. Man berücksichtigt nicht, daß der Körper rechnen muß. Das ist wichtig. Deshalb ist es richtig, daß man das Kind mit den Fingern und auch mit den Zehen zählen läßt, wie es überhaupt ganz gut wäre, wenn man möglichste Geschicklichkeit bei den Kindern herausfordern würde.“ (Lit.:GA 311, S. 81f)

„Aber warum können wir denn überhaupt zählen? Ja, in Wirklichkeit machen wir es nämlich nicht anders als die Wilden, nur haben die Wilden das mit ihren fünf Fingern gemacht, mit ihren fünf physischen Fingern. Wir zählen auch, nur zählen wir mit den Fingern unseres Ätherleibes und wissen nichts mehr davon. Das spielt sich im Unterbewußtsein ab, da abstrahieren wir. Denn dasjenige, wodurch wir zählen, das ist eigentlich der Ätherleib, und eine Zahl ist noch immer nichts anderes in Wirklichkeit als ein Vergleichen mit demjenigen, was in uns ist. Die ganze Arithmetik ist in uns, und wir haben sie in uns hineingeboren durch unseren Astralleib, so daß sie eigentlich aus unserem Astralleib herauskommt, und unsere zehn Finger sind nur der Abdruck dieses Astralischen und Ätherischen. Und dieser beiden bedient sich nur dieser äußere Finger, während wir, wenn wir rechnen, dasjenige, was durch den Astralleib bewirkt Inspiration von der Zahl, im Ätherleib ausdrücken und dann durch den Ätherleib, mit dem wir überhaupt denken, zählen. So daß wir sagen können: Äußerlich ist heute für uns das Zählen etwas recht Abstraktes, innerlich hängt es damit zusammen - und es ist sehr interessant, die verschiedenen Zählungsmethoden nach der Zehnzahl, nach dem Dezimalsystem oder nach der Zwölfzahl bei den verschiedenen Völkern zu verfolgen, wie das mit der verschiedenen Konstitution ihres Ätherischen und Astralischen zusammenhängt - , innerlich hängt es damit zusammen, daß wir zählen, weil wir selbst erst gezählt sind; wir sind aus der Weltenwesenheit heraus gezählt und nach der Zahl geordnet. Die Zahl ist uns eingeboren, einverwoben von dem Weltenganzen. Draußen werden uns nach und nach die Zahlen gleichgültig; in uns sind sie nicht gleichgültig, in uns hat jede Zahl ihre bestimmte Qualität. Versuchen Sie es nur einmal, die Zahlen herauszuwerfen aus dem Weltenall, und sehen Sie sich an, was der Zahl gemäß gestaltet wird, wenn einfach eins zu dem anderen hinzugesetzt würde; sehen Sie sich an, wie dann Ihre Hand ausschauen würde, wenn da der Daumen wäre, und nachher würde einfach das Nächste hinzugesetzt als die gleiche Einheit, dann wiederum, wiederum: Sie hätten fünf Daumen an der Hand, an der anderen Hand auch wiederum fünf Daumen! - Das würde dann entsprechen dem abstrakten Zählen. So zählen die Geister des Weltenalls nicht. Die Geister des Weltenalls gestalten nach der Zahl und sie gestalten in jenem Sinne nach der Zahl, den man früher mit der Zahl verband, wie gesagt, noch in der ersten, noch in der zweiten Periode der nachatlantischen Zeit. Das Herausentwickeln der abstrakten Zahl aus der ganz konkreten Vorstellung des Zahlenhaften, des Zahlenmäßigen, das hat sich erst im Laufe der Menschheitsentwickelung gebildet. Und darüber muß man sich klar sein, daß es eine tiefe Bedeutung hat, wenn aus den alten Mysterien heraus überliefert wird: Die Götter haben den Menschen nach der Zahl gebildet. - Die Welt ist voller Zahl, das heißt, alles wird nach der Zahl gebildet, und der Mensch ist nach der Zahl herausgestaltet, so daß unser Zählen in jenen alten Zeiten nicht vorhanden war; aber ein bildhaftes Denken in den Qualitäten der Zahl, das war vorhanden.

Da kommen wir in alte Zeiten zurück, wie gesagt, bis in die erste, zweite nachatlantische Periode, in die urindische, in die urpersische Zeit, in denen ein Zählen in unserem Sinne durchaus nicht möglich war, wo man mit der Zwei etwas ganz anderes verbunden hat, als zweimal die Eins, mit der Drei etwas ganz anderes, als zwei und eins und dergleichen.“ (Lit.:GA 204, S. 134f)

Einmaleins

„Eine astralische Mutterhülle trägt der Mensch mit sich herum bis zum vierzehnten, fünfzehnten Jahre, bis zur Geschlechtsreife. Da wirft er sie ab, und der Astralleib wird frei: sozusagen eine dritte Geburt findet statt. Der Astralleib ist der Träger des menschlichen Urteils, der menschlichen Kritik. Man sollte abkommen von der Ansicht, daß das Kind möglichst früh zu einem selbständigen Urteil kommen soll. Vom siebenten bis vierzehnten Jahr ist es notwendig, einen weisen Gedächtnisschatz zu sammeln für das Leben, um so sich in der Zeit, wo der Astralleib geboren wird, einen möglichst reifen und reichen Seeleninhalt zu erschaffen. Erst dann soll das Urteilen beginnen. Die frühere Methode, in den Schulen das Einmaleins einfach auswendig lernen zu lassen: 1*1 = 1 und so weiter, ist, da sie eine rein gedächtnismäßige ist, bedeutend vorzuziehen der jetzigen abstrakten Methode, an der sogenannten Rechenmaschine das Einmaleins mit roten und weißen Kugeln zu «beweisen». Diese ist entschieden schädlich. Auch hier gilt dasselbe wie beim kleinen Kinde; dieses versteht die Sprache lange Zeit, ehe es selbst sprechen kann. So soll man es auch erst urteilen lassen wollen, wenn es einen guten Gedächtnisschatz für den Ätherleib sich angeeignet, gewisse bleibende Neigungen und Gewohnheiten entwickelt hat.“ (Lit.:GA 109, S. 207f)

„Wenn gerade heute sehr viel darauf gesehen wird, daß alles verstanden werden soll, daß man gewissermaßen nicht einmal das Einmaleins den Kindern beibringen soll, ohne daß sie überall verstehen sollen — sie verstehen es ja doch nicht! -, dann macht man die Kinder statt zu verständigen Menschen zu Rechenmaschinen. Man prägt ihnen den in der elementaren Umwelt gelegenen Verstand ein, von dem ich letzthin gesprochen habe, statt daß man ihren eigenen Verstand entwickelt. Und das geschieht nämlich heute sehr häufig. Die Leute bemühen sich geradezu, das Ideal aufzustellen, nicht aus den Menschen den Verstand herauszuholen, sondern den Elementarverstand heranzutragen, der in der Umwelt ist, so daß das Kind eingewoben wird, eingesponnen wird in die elementarische Welt. Das zeigt sich auch an vielen zeitgenössischen Fällen. Vielem gegenüber können wir heute geradezu sagen: Die Menschen denken doch gar nicht selber, sondern sie denken sozusagen in einer allgemeinen Denkatmosphäre. Und soll etwas Individuelles herauskommen, so rührt das von ganz anderem her als von dem, was in der Menschennatur als Göttliches aufgefaßt wird.“ (Lit.:GA 177, S. 132)

„Sie wissen ja, die äußere Methodik schreibt vor, im ersten Schuljahr vorzugsweise die Zahlen im Zahlenraum bis 100 zu behandeln. Man kann sich an das auch halten, denn es ist ziemlich gleichgültig, wenn man bei den einfacheren Zahlen bleibt, wie weit man den Zahlenraum im ersten Schuljahr treibt. Die Hauptsache ist, daß sie, insofern Sie den Zahlenraum gebrauchen, die Rechnungsarten darin so betreiben, daß Sie eben dem Rechnung tragen, was ich gesagt habe: die Addition zuerst aus der Summe heraus, die Subtraktion aus dem Rest heraus, die Multiplikation aus dem Produkt heraus und die Division aus dem Quotienten heraus entwickelt. Also gerade das Umgekehrte von dem, was gewöhnlich gemacht wird. Und erst nachdem man gezeigt hat, 5 ist 3 plus 2, zeigt man das Umgekehrte: durch Addition von 2 und 3 entsteht 5. Denn man muß starke Vorstellungen im Kinde hervorrufen, daß 5 gleich 3 plus 2 ist, daß 5 aber auch 4 plus 1 ist und so weiter. Also die Addition erst als zweites nach der Auseinanderteilung der Summe; und die Subtraktion, nachdem man gefragt hat: Was muß ich von einem Minuenden abziehen, damit ein bestimmter Rest bleibt und so weiter. Wie gesagt, daß man das dann mit den einfacheren Zahlen im ersten Schuljahr macht, ist selbstverständlich. Ob man nun gerade den Zahlenraum bis 100 oder bis 105 oder bis 95 benützt, das ist im Grunde nebensächlich.

Dann aber beginne man, wenn das Kind mit dem Zahnwechsel fertig ist, ja gleich damit, es das Einmaleins lernen zu lassen, und meinetwillen sogar das Einspluseins; wenigstens, sagen wir, bis zur Zahl 6 oder 7. Also das Kind möglichst früh das Einmaleins und Einspluseins einfach gedächtnismäßig lernen zu lassen, nachdem man ihm nur prinzipiell erklärt hat, was das eigentlich ist, es prinzipiell an der einfachen Multiplikation erklärt hat, die man so in Angriff nimmt, wie wir das gesagt haben. Also kaum daß man imstande ist, dem Kinde den Begriff des Multiplizierens beizubringen, übertrage man ihm auch schon die Pflicht, das Einmaleins gedächtnismäßig zu lernen.“ (Lit.:GA 295, S. 167f)

Rechenunterricht und moralische Prinzipien

„Früh ist das Kind bereits veranlagt für die ersten Elemente der Rechenkunst. Aber gerade bei der Rechenkunst kann man beobachten, wie nur allzuleicht ein intellektualistisches Element zu früh in das Kind hineinkommt. Rechnen als solches ist ja keinem Menschen in keinem Lebensalter ganz fremd. Es entwickelt sich aus der menschlichen Natur heraus, und es kann nicht eine solche Fremdheit zwischen den menschlichen Fähigkeiten und den Rechenoperationen eintreten wie zwischen diesen Fähigkeiten und den Buchstaben in einer folgenden Kultur. Aber dennoch, gerade darauf kommt ungeheuer viel an, daß der Rechenunterricht in richtiger Weise an das Kind herangebracht wird. Das kann im Grunde genommen nur derjenige beurteilen, der aus einer gewissen spirituellen Grundlage heraus das gesamte menschliche Leben beobachten kann.

Zwei Dinge liegen logisch scheinbar einander recht fern: Rechenunterricht und moralische Prinzipien. Man rückt gewöhnlich gar nicht den Rechenunterricht an die moralischen Prinzipien heran, weil man keinen logischen Zusammenhang zunächst findet. Aber für den, der nun nicht bloß logisch, sondern lebensvoll betrachtet, für den stellt sich die Sache so, daß das eine Kind, das in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist, ein ganz anderes moralisches Verantwortungsgefühl im späteren Alter hat, als dasjenige Kind, das nicht in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist.“ (Lit.:GA 305, S. 109f)

„Nun werden Sie vielleicht mich noch besser verstehen, wenn ich ein klein wenig das Prinzip des Rechenunterrichts Ihnen darlege. Heute geht doch vielfach das Rechnen davon aus, daß wir zunächst damit beginnen, daß wir eins zum anderen hinzufügen. Allein bedenken Sie, welche fremde Betätigung das für die menschliche Seele ist, daß man eine Erbse zu den anderen hinzufügt, und immer wenn etwas hinzugefügt ist, man wieder einen neuen Namen gibt. Der Übergang von eins zu zwei, dann wiederum zu drei, dieses Zählen ist ja etwas, was ganz wie willkürlich im Menschen als Tätigkeit sich vollzieht. Aber es gibt eine andere Möglichkeit, zu zählen. Wir finden diese Möglichkeit, wenn wir etwas in der menschlichen Kulturgeschichte zurückgehen. Denn ursprünglich wurde gar nicht so gezählt, daß man eine Erbse zu der anderen legte, Einheit zu Einheit hinzulegte, und dadurch etwas Neues entstand, was wenigstens zunächst für das Seelenleben außerordentlich wenig mit dem Vorhergehenden zu tun hat. Aber man zählte etwa in der folgenden Weise. Man sagte sich: Was man im Leben hat, ist immer ein Ganzes, das man als Ganzes aufzufassen hat, und es kann das Verschiedenste eben eine Einheit sein. Wenn ich einen Volkshaufen vor mir habe, so ist er zunächst eine Einheit. Wenn ich einen einzelnen Menschen vor mir habe, ist er auch eine Einheit. Die Einheit ist im Grunde genommen etwas ganz Relatives. Das berücksichtige ich, wenn ich nicht zähle 1, 2, 3, 4 und so fort, sondern wenn ich in der folgenden Weise zähle:

Zeichnung aus GA 305, S. 111

und so weiter, wenn ich das Ganze gliedere, weil ich also von der Einheit ausgehe, und in der Einheit als Mannigfaltigkeit die Teile suche. Das ist auch die ursprüngliche Anschauung vom Zahlen. Die Einheit war immer das Ganze, und in der Einheit suchte man erst die Zahlen. Man dachte sich nicht die Zahlen entstehend als 1 zu 1 hinzugefügt, sondern man dachte sich die Zahlen alle als in einer Einheit darinnen, aus der Einheit organisch hervorgehend.

Das, angewendet auf den ganzen Rechenunterricht, gibt das Folgende: Sie werfen, statt daß Sie Erbse zu Erbse hinzulegen, einen Erbsenhaufen dem Kinde hin. (Es wird gezeichnet.) Der Erbsenhaufe ist das Ganze. Von dem geht man aus. Und jetzt bringt man etwa dem Kinde bei: Ich habe den Erbsenhaufen, oder, sagen wir, damit es für das Kind empfindlich anschaulich wird, einen Haufen von Äpfeln und 3 Kinder, vielleicht 3 Kinder von verschiedenem Alter, die verschieden stark zu essen haben, und wir wollen etwas tun, was mit dem Leben zusammenhängt. Was können wir da tun? Nun, wir können das tun, daß wir den Äpfelhaufen in einer gewissen Weise teilen, und daß wir dann den ganzen Haufen als Summe betrachten gleich den einzelnen Teilen, in die wir ihn aufgeteilt haben. Wir haben den Äpfelhaufen dort, und wir sagen: Wir haben 3 Teile, und bringen so dem Kinde bei, daß die Summe gleich ist den 3 Teilen. Summe = 3 Teile. Das heißt, wir

Zeichnung aus GA 305, S. 111

gehen bei der Addition nicht von den einzelnen Teilen aus und haben nachher die Summe, sondern wir nehmen zuerst die Summe und gehen zu den Teilen über. So gehen wir von dem Ganzen aus, und gehen zu den Addenden, zu den Teilen über, um auf diese Weise ein lebendiges Erfassen der Addition zu haben. Denn dasjenige, worauf es in der Addition ankommt, das ist immer die Summe, und die Teile, die Glieder sind dasjenige, was in der Summe in einer gewissen Weise drinnen sein muß. So ist man in der Lage, das Kind heranzubringen an das Leben in der Art, daß es sich hineinfügt, Ganzheiten zu erfassen, nicht immer von dem Wenigen zu dem Mehr überzugehen. Und das übt einen außerordentlich starken Einfluß auf das ganze Seelenleben des Kindes. Wenn das Kind daran gewöhnt wird, hinzuzufügen, dann entsteht eben jene moralische Anlage, die vorzugsweise ausbildet das nach dem Begehrlichen Hingehen. Wenn von dem Ganzen zu den Teilen übergegangen wird, und wenn entsprechend so auch die Multiplikation ausgebildet wird, so bekommt das Kind die Neigung, nicht das Begehrliche so stark zu entwickeln, sondern es entwickelt dasjenige, was im Sinne der platonischen Weltanschauung genannt werden kann die Besonnenheit, die Mäßigkeit im edelsten Sinne des Wortes. Und es hängt innig zusammen dasjenige, was einem im Moralischen gefällt und mißfällt, mit der Art und Weise, wie man mit den Zahlen umzugehen gelernt hat. Zwischen dem Umgehen mit den Zahlen und den moralischen Ideen, Impulsen, scheint ja zunächst kein logischer Zusammenhang, so wenig, daß derjenige, der nur intellektualistisch denken will, darüber höhnen kann, wenn man davon spricht. Es kann ihm lächerlich vorkommen. Man begreift es auch ganz gut, wenn jemand lachen kann darüber, daß man beim Addieren von der Summe ausgehen soll, und nicht von dem Addenden. Aber wenn man die wirklichen Zusammenhänge im Leben ins Auge faßt, dann weiß man, daß die logisch entferntesten Dinge im wirklichen Dasein einander oftmals sehr nahe stehen.“ (S. 110ff)

Die vier Grundrechnungsarten

Die bekannten vier Grundrechenarten sind:

  • die Addition (lat. additio, von addere „hinzufügen“) oder Plusrechnung: Summe = Summand1 + Summand2
  • die Subtraktion (von lat. subtrahere „wegziehen“, „entfernen“) oder Minusrechnung: Differenz = Minuend - Subtrahend
  • die Multiplikation (lat. multiplicatio, von multiplicare „vervielfachen“) oder Malrechnung: Produkt = Faktor1 × Faktor2 = Faktor2 · Faktor1
  • die Division (von lat. divisio „Teilung“) oder Teilung bzw. das Verhältnis zweier Größen zueinander: Quotient = Dividend : Divisor = Dividend ÷ Divisor

Zusammenhang mit den vier Temperamenten

„Gehen wir einmal von der Addition aus, und zwar so, wie wir die Addition auffassen. Nehmen wir an, ich habe Bohnen oder ein Häufchen Holunderkügelchen. Nun will ich für den heutigen Fall annehmen, daß die Kinder schon zählen können, was sie ja auch erst lernen müssen. Das Kind zählt, es hat 27. - «27», sage ich, «das ist die Summe.» Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! Die psychologische Bedeutung davon können Sie in meiner Erkenntnistheorie verfolgen. Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen. Ein Häufchen Holunderkügelchen, sagen wir 12; weiter ein Häufchen, sagen wir 7; weiter eines, sagen wir 3; weiter eines, sagen wir 5. Dann werden wir die Holunderkügelchen erschöpft haben: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. Wir machen ja den Rechnungsvorgang von der Summe 27. Solch einen Vorgang lasse ich nun eine Anzahl von Kindern machen, welche ausgesprochen phlegmatisches Temperament haben. Man wird sich allmählich bewußt werden, daß diese Art des Addierens besonders geeignet ist für Phlegmatiker. - Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kinder aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammenwerfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang. Das Addieren ist ganz besonders die Rechnungsart der phlegmatischen Kinder.

Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Holunderkügelchen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. - Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rechnung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. - Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rechnungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Subtraktion - aber so ausgeführt, wie wir es tun - für die melancholischen Kinder ist.

Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hineinführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. - «Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt heraus 7. Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancholischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen. Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnensteckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56. - Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. Für das cholerische Kind wende ich in dieser Form die Division an. Denn in dieser Form ist sie insbesondere die Rechnungsart der cholerischen Kinder.

Auf diese Weise, indem ich es fortwährend so durchführe, bekomme ich gerade für die vier Rechnungsarten die Möglichkeit, sie zu gebrauchen für die Heranziehung der vier Temperamente: das Additive ist verwandt dem Phlegmatischen, das Subtrahieren dem Melancholischen, das Multiplizieren dem Sanguinischen, das Dividieren, mit dem Zurückgehen zu dem Dividenden, dem Cholerischen. - Das ist es, was ich Sie bitte, im Anschluß zu dem von Herrn N. Gesagten zu beachten. Es ist von besonderer Wichtigkeit, daß man nicht langweilig fortarbeitet: ein halbes Jahr bloß addiert, dann subtrahiert und so weiter, sondern wir werden diese vier Rechnungsarten womöglich nicht allzu langsam nacheinander durchnehmen, und dann alle vier üben! Zuerst nur bis 40 etwa. So werden wir Rechnen lehren nicht nach dem gewöhnlichen Stundenplan, sondern so, daß durch das Üben diese vier Arten fast gleichzeitig angeeignet werden. Sie werden finden, daß es auf diese Weise sehr ökonomisch geht, und daß man die Kinder die Dinge ineinanderarbeiten lassen kann. - Es ist ja die Division verwandt mit der Subtraktion, und die Multiplikation ist eigentlich nur eine wiederholte Addition. So daß man also auch umwechseln und zum Beispiel das cholerische Kind an die Subtraktion heranbringen kann.“ (Lit.:GA 295, S. 41ff)

Literatur

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Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz
Email: verlag@steinerverlag.com URL: www.steinerverlag.com. Freie Werkausgaben gibt es auf fvn-rs.net, archive.org und im Rudolf Steiner Online Archiv.
Eine textkritische Ausgabe grundlegender Schriften Rudolf Steiners bietet die Kritische Ausgabe (SKA) (Hrsg. Christian Clement): steinerkritischeausgabe.com
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Einzelanachweise

  1. Der Begriff Unterrasse entstammt der damals gebräuchlichen Terminologie der Theosophischen Gesellschaft und wurde von Rudolf Steiner später ebenso wie der Begriff «Wurzelrasse» nicht mehr verwendet. Steiner hat wiederholt darauf hingewiesen, dass der Begriff «Rasse» in der nachatlantischen Zeit eigentlich nicht mehr berechtigt ist, da nun nicht mehr die körperliche, sondern die seelisch-geistige Entwicklung in den Vordergrund rückt. Die Gliederung der Menschheit in Rassen wird allmählich völlig überwunden werden und ist schon heute für die geistige Entwicklung der Menschheit bedeutungslos.