Schwingung

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Eine Schwingung oder Oszillation (lat. oscillare „schaukeln“) ist eine zeitlich wiederkehrende (periodische oder chaotische) Schwankung einer oder mehrerer Zustandsgrößen um einen Mittelwert. Grundsätzlich sind alle rückgekoppelten Systeme, bei denen der Auslenkung eine entsprechende Rückstellkraft entgegenwirkt, schwingungsfähig. In der Physik wird ein solches schwingungsfähiges System als Oszillator bzw. im Fall einer sinusförmigen harmonischen Schwingung als harmonischer Oszillator bezeichnet. Periodische Schwingungen elastischer Körper werden auch als Vibrationen oder Erschütterungen (eng. chatter) bezeichnet, insbesondere wenn sie unmittelbar fühlbar und/oder hörbar sind. Dabei handelt es sich oft auch um unerwünschte Resonanzen schwingungsfähiger Bauteile, die Störgeräusche erzeugen.

Rechts: Zwei Schwingungen, die um den Phasenwinkel gegeneinander verschoben sind. Links: Zwei rotierende Zeiger mit derselben Phasenverschiebung.

Charakteristische Größen

Der schwingende Leuchter im Dom zu Pisa soll Galileo Galilei zur Entdeckung der Pendelgesetze angeregt haben.
Schwingungsmoden einer Saite. Die erste Schwingung stellt die Grundschwingung mit der Grundfrequenz f dar. Die weiteren Schwingungen zeigen die ersten 6 Oberschwingungen mit Vielfachen der Grundfrequenz.

Eine periodische Schwingung kann durch die Amplitude , die maximale positive oder negative Auslenkung (Elongation) von der Ruhelage (d.h. die maximale Abweichung vom Mittelwert), und die Periodendauer charakterisiert werden. Der Kehrwert der Periodendauer, die Frequenz , gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit an und wird üblicherweise in Hertz gemessen ( ). Häufig verwendet man auch die Kreisfrequenz oder Winkelfrequenz  .

Der Phasenwinkel , kurz genannt die Phase, gibt dabei die aktuelle Position innerhalb des periodischen Schwingungsvorgangs an. Eine volle Schwingungsperiode entspricht dem Phasenwinkel . Zwei Schwingungen gleicher Periodendauer können um ein entsprechende Phasenverschiebung (auch: Phasendifferenz) gegeneinander verschoben sein.

Als Grundfrequenz, auch Grundschwingung oder Grundton genannt, wird die tiefste (unterste) Frequenz in einem Gemisch harmonischer Frequenzen bezeichnet.

Eigenschwingung

Eine Eigenschwingung, auch als Eigenmode, Schwingungsmode oder natürliche Schwingung bezeichnet, ist die Schwingung eines Systems bei einer bestimmten Frequenz, bei der die Struktur des Systems seine Energie am effizientesten überträgt und speichert. Bei einer Eigenschwingung schwingen alle Teile des Systems in einem harmonischen Muster, das durch die physikalischen Eigenschaften des Systems bestimmt wird.[1][2]

Die Frequenz der Eigenschwingung wird als Eigenfrequenz bezeichnet. Sie die charakteristische Frequenz, bei der ein System bei Anregung frei schwingt. Sie wird auch als natürliche Frequenz, Resonanzfrequenz oder Eigenresonanz bezeichnet (→ Resonanz). Die Eigenfrequenz eines Systems hängt von seinen physikalischen Eigenschaften, wie Masse, Steifigkeit und Dämpfung, ab. In vielen Fällen kann ein System mehrere Eigenfrequenzen haben, die verschiedenen Schwingungsmustern oder Modi entsprechen.[1]

Eigenschwingungen treten in vielen verschiedenen Arten von Systemen auf, einschließlich mechanischen, akustischen, elektrischen und optischen Systemen. Ein Beispiel für eine mechanische Eigenschwingung ist die Schwingung einer Saite auf einem Musikinstrument. Die Saite hat eine Grundfrequenz, bei der sie in ihrer grundlegendsten Schwingungsform schwingt, und höhere Harmonische oder Obertöne, die Vielfachen der Grundfrequenz entsprechen und komplexere Schwingungsmuster aufweisen. Bei der Grundfrequenz hat die Saite die größte Amplitude und erzeugt den lautesten Klang.[1]

Helioseismologie und Asteroseismologie

Eigenschwingungen spielen auch eine wichtige Rolle in der Astrophysik, insbesondere in der Helioseismologie und der Asteroseismologie. In diesen Bereichen werden die Eigenschwingungen von Sternen untersucht, um Informationen über ihre innere Struktur und Dynamik zu erhalten.[3][4]

Schwingungsgleichung

Der zeitliche Verlauf der Auslenkung einer harmonischen Schwingung kann durch eine Sinusfunktion dargestellt werden. Unter Berücksichtigung des Nullphasenwinkels (des Phasenwinkel zum Zeitpunkt ) ergibt sich folgende Gleichung:

Die Schwingungsenergie ist konstant, sofern man von der Reibung absieht, und setzt sich wie bei jedem mechanischen System aus der Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie zusammen. Durch die Schwingung werden potentielle Energie und kinetische Energie beständig ineinander umgewandelt. Das lässt sich an einem Fadenpendel leicht veranschaulichen. An den beiden Umkehrpunkten ist die potentielle Energie maximal und die kinetische Energie gleich Null; beim Durchgang durch den tiefsten Punkt ist es genau umgekehrt. Damit lässt sich die Schwingungsenergie leicht berechnen. Für die kinetische Energie eines mechanischen Systems gilt ganz allgemein:

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung der Auslenkung :

Beim Durchgang durch den tiefsten Punkt ist . Damit ergibt sich für die Schwingungsenergie :

Die Schwingungsenergie ist somit von der Masse des Pendelkörpers, dem Quadrat der Amplitude und dem Quadrat der Winkelfrequenz abhängig.

Beispiele

Am anschaulichsten ist die mechanische Schwingung eines Körpers, etwa eines Pendels oder Federpendels. Es können aber auch elektrische und magnetische Feldgrößen schwingen, wie es etwa bei einer elektromagnetischen Schwingung in einem elektrischen Schwingkreis der Fall ist.

Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn sich die rückstellende Kraft linear mit der Auslenkung ändert. Sie kann mathematisch durch eine Sinusfunktion beschrieben werden. Bei einer gedämpften Schwingung, wie sie wegen der stets vorhandenen Reibung in der Praxis meist vorliegt, nimmt die Amplitude mit der Zeit immer mehr ab. Im aperiodischen Grenzfall (etwa bei einem Stoßdämpfer) bildet sich keine Sinusschwingung aus, sondern die Amplitude sinkt exponentiell gegen Null ab.

Schwingung eines Fadenpendels Harmonischen Schwingung eines Federpendels Zeitlicher Verlauf einer gedämpften Schwingung

Siehe auch

Literatur

Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz Email: verlag@steinerverlag.com URL: www.steinerverlag.com.
Freie Werkausgaben gibt es auf steiner.wiki, bdn-steiner.ru, archive.org und im Rudolf Steiner Online Archiv.
Eine textkritische Ausgabe grundlegender Schriften Rudolf Steiners bietet die Kritische Ausgabe (SKA) (Hrsg. Christian Clement): steinerkritischeausgabe.com
Die Rudolf Steiner Ausgaben basieren auf Klartextnachschriften, die dem gesprochenen Wort Rudolf Steiners so nah wie möglich kommen.
Hilfreiche Werkzeuge zur Orientierung in Steiners Gesamtwerk sind Christian Karls kostenlos online verfügbares Handbuch zum Werk Rudolf Steiners und Urs Schwendeners Nachschlagewerk Anthroposophie unter weitestgehender Verwendung des Originalwortlautes Rudolf Steiners.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 1,2 Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B., & Sanders, J. V. (2000). Fundamentals of Acoustics. John Wiley & Sons.
  2. Nayfeh, A. H., & Mook, D. T. (1995). Nonlinear Oscillations. John Wiley & Sons.
  3. Christensen-Dalsgaard, J. (2002). Helioseismology. Reviews of Modern Physics, 74(4), 1073-1129.
  4. Aerts, C., Christensen-Dalsgaard, J., & Kurtz, D. W. (2010). Asteroseismology. Springer Science & Business Media.
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