Ljapunow-Exponent

Veranschaulichung des Ljapunow-Exponenten $\lambda (x_{0})$. Die zwei Startpunkte entfernen sich exponentiell schnell voneinander.

Der Lyapunow-Exponent, benannt nach dem russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow (1857-1918), ist eine mathematische Größe, die verwendet wird, um die Stabilität von dynamischen Systemen zu quantifizieren. Es misst die Rate, mit der sich zwei nahegelegene Trajektorien in einem dynamischen System auseinander bewegen. Pro Dimension des Phasenraums gibt es je einen Ljapunow-Exponenten, die zusammen das sogenannte Ljapunow-Spektrum bilden. Häufig betrachtet man allerdings nur den größten Ljapunow-Exponenten, da dieser in der Regel das gesamte Systemverhalten bestimmt.

Der Lyapunow-Exponent wird oft verwendet, um das Verhalten von chaotischen Systemen zu untersuchen. Chaotische Systeme sind Systeme, bei denen kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen große Auswirkungen auf das langfristige Verhalten des Systems haben können. Der Lyapunow-Exponent gibt an, wie schnell sich solche Unterschiede in den Anfangsbedingungen ausbreiten und wie schnell sich die Dynamik des Systems ändert.

Ein positiver Lyapunow-Exponent zeigt an, dass das System chaotisch ist und dass sich nahegelegene Trajektorien schnell auseinander bewegen. Ein negativer Lyapunow-Exponent zeigt hingegen an, dass das System stabil ist und dass nahegelegene Trajektorien sich im Laufe der Zeit annähern. Ein Lyapunow-Exponent von null bedeutet, dass das System stabil ist, aber nicht unbedingt chaotisch.

Betrachtet man allgemeine Trajektorieverläufe im Phasenraum, dann liefern die Exponenten ein Maß für die Separation von der ursprünglichen Trajektorie $\Gamma (t_{0})$. Für die zeitkontinuierliche Betrachtung eines dynamischen Systems lässt sich dieser Zusammenhang formal allgemein darstellen als: $\delta \Gamma (t)\approx e^{\lambda t}\delta \Gamma (t_{0})$, wobei $\delta \Gamma (t)$ die Linearisierung der Trajektorie zum Zeitpunkt $t$ darstellt und $\lambda$ der Ljapunow-Exponent ist.

Literatur

• Heinz Georg Schuster: Deterministisches Chaos. Eine Einführung. 3. Auflage. VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim 1994, ISBN 3-527-29089-3
• H. Kantz, T. Schreiber: Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-52902-6
• B. Hasselblatt, A. Katok: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Part of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge 1997, ISBN 978-0-521-57557-7
• David Ruelle: Ergodic theory on differentiable dynamical systems. In: IHES Publicationes Mathematiques, 50, 1979, S. 275–320
• Francesco Ginelli, Hugues Chaté, Roberto Livi, Antonio Politi: Covariant Lyapunov vectors. In: Journal of physics A: Mathematical and theoretical, Volume 46, Number 25, 04/2013
• G. Benettin, L. Galgani, J. M. Strelcyn: Kolmogorov entropy and numerical experiments. In: Phys. Rev. A, 14, 1976, S. 2338
• Govindan Rangarajan, Salman Habib, Robert Ryne: Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization. 1998, doi:10.1103/PhysRevLett.80.3747
• Günter Radons, Gudula Rünger, Michael Schwind, Hong-liu Yang: Parallel Algorithms for the Determination of Lyapunov Characteristics of Large Nonlinear Dynamical Systems. In: PARA, 2004, S. 1131–1140
• Harald A Posch: Symmetry properties of orthogonal and covariant Lyapunov vectors and their exponents. 2011, arxiv:1107.4032
• Harald A. Posch, R. Hirschl: Simulation of billiards and of hard body fluids in Hard ball systems and the Lorentz gas. Springer, Berlin 2000