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Oktaeder


Das (auch, v. a. österr.: der) Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (von griech. oktáedron ‚Achtflächner‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit
- acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
- zwölf (gleich langen) Kanten und
- sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen
Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).
Symmetrie
Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:
- drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
- vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
- sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
- neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)
und ist
- punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch)
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaeder- oder Würfelgruppe – 48 Elemente.
Beziehungen zu anderen Polyedern
Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).
Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.
Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
- das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
- das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
- den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken
als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und
- das Rhombendodekaeder (mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Flächen)
als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.
Zu etlichen weiteren Themen siehe auch
Siehe auch
Dieser Artikel basiert auf einer für AnthroWiki adaptierten Fassung des Artikels Oktaeder aus der freien Enzyklopädie de.wikipedia.org und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |