Virialsatz

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Der Virialsatz (lat. vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie LaTeX:  \overline{T} und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie LaTeX: \overline{U} eines abgeschlossenen physikalischen Systems.

Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz aufgestellt. Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck[1][2][3]

LaTeX: -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}.

Hierbei bezeichnet LaTeX: \vec{F_i} die auf das LaTeX: i-te Teilchen wirkende Kraft, LaTeX: \vec r_i dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Virialsatz der Mechanik

Teilchen in einem konservativen Kraftfeld

Einen einfachen Fall stellen LaTeX: N untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das konservativ, also von einem Potential LaTeX: \Phi(\vec r) abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit LaTeX: q bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet

LaTeX:  \overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}  =  \frac{q}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\nabla \Phi(\vec{r_i}) \cdot \vec{r_i}},

wobei LaTeX: T die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten LaTeX: \tau \to \infty bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen homogenes Potential vom Grad LaTeX: k an, das heißt, es gilt LaTeX: \Phi(\alpha\,\vec {r}) = \alpha^k \cdot \Phi(\vec {r}) für LaTeX: \alpha > 0, dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen LaTeX: \nabla \Phi(\vec{r}) \cdot \vec{r} = k \Phi(\vec{r})[4] zu

LaTeX: \overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline U,

wobei LaTeX: \textstyle U = \sum q_i \Phi(\vec{r_i}) die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.

Untereinander wechselwirkende Teilchen

Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von LaTeX: N miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:

LaTeX: \overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}

Dabei ist LaTeX: \vec {F_i} die Resultierende der auf das LaTeX: i-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen LaTeX: \textstyle \sum_i \vec {F_i}=0 gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren LaTeX: \vec r_i im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad LaTeX: k abgeleitet werden können, wie oben auf die Form

LaTeX: \overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline{U}

bringen.

Folgerungen und Beispiele

Mit der Gesamtenergie LaTeX: \overline{E} = \overline{T} + \overline{U} = E folgt aus dem Virialsatz:

LaTeX: \overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline {U} = \frac{k}{k+2}\,E
LaTeX: \overline{U} = \frac{2}{k+2}\,E

Für den bekannten Fall LaTeX: k = -1 (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

LaTeX: \overline{T} = -\frac{1}{2}\,\overline{U} = -E

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall LaTeX: k = -1 negativ sein muss (da LaTeX: \overline {T} positiv ist).

Für den Fall harmonischer Schwingungen (LaTeX: k = 2) gilt:

LaTeX: \overline{T} = \overline{U} = \frac {1}{2} E

Sonderfälle der Mittelwertbildung

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten LaTeX: \tau \to \infty. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Geschlossene Bahnen

Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators (LaTeX: k=2) und für das Coulombpotential (LaTeX: k=-1), erhält man für finite (d. h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.[5]

Vielteilchensystem

Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl LaTeX: N der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme

LaTeX: T = \frac k2\,U

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

Für das gravitative LaTeX: N-Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit LaTeX: T_\text{relax} eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.[6] Sie beträgt bei der Milchstraße LaTeX: T_\text{relax} \approx 7 \cdot 10^{13} Jahre (bei einem Alter von LaTeX: 13{,}6 \cdot 10^9 Jahren) und für typische Kugelsternhaufen LaTeX: 10^{10} Jahre. Innerhalb des Zeitraums LaTeX: T_\text{relax} erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,[7] und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von LaTeX: 42 \cdot T_\text{relax} sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

Zu vielen weiteren Theman siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Mechanik. Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.
Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.
  • James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.
Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.
  • Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
  • George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Online.
  • Richard Becker: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).
  • Fritz Zwicky: Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. bibcode:1933AcHPh...6..110Z (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
  • Albrecht Unsöld: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. Rudolf Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.
  2. Herbert Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.
  3. Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
  4.  J. Honerkamp, H. Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 2012, ISBN 9783642232626 (Kapitel 2.12: Der Virialsatz. in der Google Buchsuche).
  5.  Julius Wess: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 9783540748694 (Kapitel 13: Homogene Potenziale. in der Google Buchsuche).
  6. H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487.
  7. Sebastian von Hoerner: Zeitschrift für Astrophysik. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.


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