Potential

Veranschaulichung des Gravitationspotentials einer homogenen Kugel

Als Potential (von lat. potentia „Stärke, Macht“) wird ganz allgemein die Fähigkeit zur Entwicklung noch nicht ausgeschöpfter Möglichkeiten bezeichnet, die noch nicht aktuell verwirklicht, sondern nur potentiell veranlagt sind.

In der Physik wird ein Potential mathematisch durch ein Skalarfeld $\Phi ({\vec {r}})\,$ repräsentiert, dessen Gradient das zugehörige Kraftfeld ${\vec {F}}({\vec {r}})$ ist; das negative Vorzeichen gibt an, dass der Kraftvektor ${\vec {F}}\$ stets dem Richtungsvektor ${\vec {r}}$ des maximalen Potentialanstiegs entgegengerichtet ist. Es gilt also

${\vec {F}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$

Ein Skalarpotential dient der mathematischen Beschreibung der mit Zentralkräften verbundenen konservativen Kraftfelder. Beispiele dafür sind etwa das Gravitationsfeld oder das elektrische Feld. Sie gehorchen folgenden Bedingungen:

• Das Kurvenintegral und damit die verrichtete Physik ist nicht vom zurückgelegten Weg, sondern nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig, d.h.

$W=\int _{{\vec {r}}_{1}}^{{\vec {r}}_{2}}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

• Das geschlossene Kurvenintegral ist stets gleich Null, d.h. auf einem geschlossenen Weg wird keine Arbeit geleistet:

$\oint \operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=\oint {\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0$

• Das Feld ist wirbelfrei, d.h.:

$\operatorname {rot} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}$