Ankreis

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Dreieck mit Ankreisen (rot)

Die drei Ankreise gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden. Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

Radien

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite LaTeX: a (LaTeX: [BC]) im Inneren berührt, ergibt sich aus

LaTeX: \rho_a = \frac{A}{s-a},[1]

dabei steht LaTeX: A für den Flächeninhalt und LaTeX: s für den halben Umfang des Dreiecks: LaTeX: s = \tfrac{1}{2}(a+b+c).

Analog berechnen sich die Radien LaTeX: \rho_b und LaTeX: \rho_c der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

LaTeX: \rho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}.

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

LaTeX: \rho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}} und LaTeX: \rho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}.

Berührpunktabstände

Dreieck, Berührpunktabstände der Ankreise, gleichfarbige Abstände haben gleiche Längen

Bezeichnung

  • LaTeX: c_a ist der Abstand von LaTeX: C zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite LaTeX: a und mit der Verlängerung der Seite LaTeX: b.
  • LaTeX: b_a ist der Abstand von LaTeX: B zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite LaTeX: a und mit der Verlängerung der Seite LaTeX: c.[2]

Der Index LaTeX: a steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite LaTeX: a im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

Es gilt:

LaTeX: c_a = a_c = s - b
LaTeX: c_b = b_c = s - a,
LaTeX: a_b = b_a = s - c.

Dabei ist LaTeX: s der halbe Umfang des Dreiecks.

Addiert man eine Seitenlänge mit einem Berührpunkabstand des Ankreises auf der Seitenverlängerung, ergibt sich LaTeX: s.[2]

Beispiel

LaTeX: c + b_a = b + c_a = s

Mittelpunkte

Dreieck, Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei LaTeX: \displaystyle I_a den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a repräsentiert:

  • LaTeX: \displaystyle I_a = (-a:b:c)
  • LaTeX: \displaystyle I_b = (a:-b:c)
  • LaTeX: \displaystyle I_c = (a:b:-c)

Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Aus der Einleitung und dem obigen Bild Dreieck mit Ankreisen (rot) kann man folgendes schließen. Die drei Ankreismittelpunkte können auch allein mittels Halbierungen von drei Außenwinkeln gefunden werden, die als Winkelschenkel jeweils eine Seite sowie eine Verlängerung einer benachbarten Seite aufweisen.

Es beginnt mit den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks LaTeX: ABC über dessen Eckpunkte hinaus. Danach folgt z. B. die Winkelhalbierende LaTeX: w_1 des Außenwinkels am Scheitel LaTeX: C mit den Winkelschenkeln Seite LaTeX: a und Verlängerung der Seite LaTeX: b ab LaTeX: C. Die Winkelhalbierende LaTeX: w_2 des Außenwinkels am Scheitel LaTeX: B mit den Winkelschenkeln Seite LaTeX: a und Verlängerung der Seite LaTeX: c ab LaTeX: B schließt sich an und liefert dabei, als Schnittpunkt mit LaTeX: w_1, den ersten Ankreismittelpunkt LaTeX: I_a. Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht, ist abschließend noch die Winkelhalbierende LaTeX: w_3 des Außenwinkels am Scheitel LaTeX: A mit den Winkelschenkeln Seite LaTeX: c und Verlängerung der Seite LaTeX: b ab LaTeX: A erforderlich. Damit ergeben sich, als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden LaTeX: w_1 und LaTeX: w_2, auch noch die beiden Ankreismittelpunkte LaTeX: I_b und LaTeX: I_c.

Weitere Eigenschaften

Dreieck LaTeX: I_a\; I_b\; I_c, Inkreismittelpunkt
  • Die Ankreismittelpunkte LaTeX: I_a, I_b und LaTeX: I_c des Dreiecks LaTeX: ABC bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt LaTeX: H der Inkreismittelpunkt des Dreiecks LaTeX: ABC ist.
  • Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt.

Siehe auch

Literatur

  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

Weblinks

 Wiktionary: Ankreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 46, abgerufen am 1. September 2019.
  2. 2,0 2,1 Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 45, abgerufen am 31. August 2019.


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