Umkreis

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Unregelmäßiges Achteck mit Umkreis

In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein konvexes Polygon genau dann einen Umkreis, wenn die Mittelsenkrechten aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

Umkreis eines Dreiecks

Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu LaTeX: [AB] sind von LaTeX: A und LaTeX: B gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu LaTeX: [BC] übereinstimmende Entfernungen von LaTeX: B und LaTeX: C. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (LaTeX: A, LaTeX: B und LaTeX: C) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer LaTeX: X_3.

Sonderfälle

Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Radius

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz

LaTeX: R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}

oder aus der Dreiecksfläche berechnen.

LaTeX: R = \frac{abc}{4A}

Dabei stehen die Bezeichnungen LaTeX: a, LaTeX: b, LaTeX: c für die Seitenlängen und LaTeX: \alpha, LaTeX: \beta, LaTeX: \gamma für die Größen der Innenwinkel. LaTeX: A bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich z. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.

Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts LaTeX: (x_u,y_u) können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien LaTeX: (x_1,y_1), LaTeX: (x_2,y_2) und LaTeX: (x_3,y_3).

Mit

LaTeX:  d = 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))

ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu

LaTeX:  x_u = \frac {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (y_2 - y_3) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2)  (y_3 - y_1) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (y_1 - y_2)} {d}

und

LaTeX:  y_u = \frac {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (x_3 - x_2) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2)  (x_1 - x_3) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (x_2 - x_1)} {d}.
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (LaTeX: X_3)
Trilineare Koordinaten LaTeX: \cos\alpha \,: \, \cos\beta \,: \, \cos\gamma

LaTeX: = a(b^2+c^2-a^2) \,: \, b(c^2+a^2-b^2) \,: \, c(a^2+b^2-c^2)

Baryzentrische Koordinaten LaTeX: \sin(2\alpha) \,: \, \sin(2\beta) \,: \, \sin(2\gamma)

Weitere Eigenschaften

Verallgemeinerung: Mittellotensatz

Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine "Kreise" definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz ist. → Siehe dazu Höhenschnittpunkt und präeuklidische Ebene.

Umkreise anderer Vielecke

Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

Vierecke, die einen Umkreis haben, werden Sehnenvierecke genannt. Spezialfälle sind gleichschenklige Trapeze, also auch Rechtecke und Quadrate.

Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Polygon einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen LaTeX: n-Ecks mit der Seitenlänge LaTeX: a gilt:

LaTeX: R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}

Verwandte Begriffe

Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt. Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar. Er gehört mit dem Umkreis und den drei Ankreisen zu den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie.

Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) Raum, so erhält man den Begriff der Umkugel, also einer Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders (Vielflächners) liegen.

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: Umkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen


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