Doppelpendel

Schematische Zeichnung eines Doppelpendels.

Trajektorie eines idealisierten Doppelpendels

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. Es ist zugleich eines der einfachsten nichtlinearen Dynamischen Systeme, welches chaotisches Verhalten zeigt. An die Masse $LaTeX: m_1$ eines Pendels mit der Länge $LaTeX: L_1$ wird ein weiteres Pendel der Länge $LaTeX: L_2$ mit Masse $LaTeX: m_2$ gehängt. Die Herleitung der Bewegungsgleichung zum Berechnen der Bewegung des Doppelpendels lässt sich vereinfachen, wenn man starre, masselose Pendelstangen und Reibungsfreiheit annimmt.

Ein Merkmal eines chaotischen Systems ist, dass es Anfangsbedingungen $LaTeX: x_i$ gibt, sodass ein weiteres Experiment mit nahezu identischen Anfangsbedingungen $LaTeX: x_i+\Delta x$, die sich nur um eine infinitesimale Störung $LaTeX: \Delta x$ unterscheiden, nach kurzer Zeit ein anderes Verhalten zeigt. Diese sensible Abhängigkeit lässt sich durch Berechnen von Ljapunow-Exponenten der Trajektorien charakterisieren.

Lösung der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten $LaTeX: {\theta_{1}}$ und $LaTeX: {\theta_{2}}$ stellen ein nichtlineares System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten ($LaTeX: \theta_1, \theta_2, \dot{\theta_1}, \dot{\theta_2}$) mit numerischen Verfahren gelöst werden. Hierbei werden also die anfänglichen Auslenkungen (z. B. 30° und 30°) und die anfänglichen Geschwindigkeiten (z. B. $LaTeX: 0 \mathrm\frac{rad}{s}$ und $LaTeX: 0 \mathrm\frac{rad}{s}$) eingegeben und damit dann die Evolution des Pendels berechnet.

Mittels Trigonometrie können die Winkel $LaTeX: \theta_{1}$ und $LaTeX: \theta_{2}$ in die kartesischen Koordinaten $LaTeX: (x_1, y_1, x_2, y_2)$ der Massenpunkte überführt werden.

Anwendungen

Eine Kirchenglocke mit Klöppel bildet ein Doppelpendel.

Auswertung des chaotischen Verhaltens

Zur Betrachtung des chaotischen Verhaltens des Doppelpendels gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Oft kann mittels einfachster Berechnungen eine Aussage über chaotisches Verhalten getroffen werden. Beispiele sind der maximale Ljapunow-Exponent (MLE) oder Bifurkationsdiagramme.

Siehe auch

• Doppelpendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Magnetisches Pendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Multipendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
• KAM-Theorem - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Kirchenglocke - Artikel in der deutschen Wikipedia

Weblinks

Commons: Double pendulums - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• Java-Doppelpendel (englisch)
• Doppelpendel-Simulation in Java und Python (deutsch)
• Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
• Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)