Funktionentheorie

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Funktionsgraph von f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i) in Polarkoordinaten. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit der Theorie differenzierbarer komplexwertiger Funktionen mit komplexen Variablen. Da insbesondere die Funktionentheorie einer komplexen Variablen reichlich Gebrauch von Methoden aus der reellen Analysis macht, nennt man das Teilgebiet auch komplexe Analysis.

Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form LaTeX: x + iy geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch

LaTeX: x + iy \mapsto f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y)

darstellen. Dabei sind LaTeX: \,u(x,y) und LaTeX: \,v(x,y) reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen LaTeX: x und LaTeX: y abhängen. LaTeX: \,u(x,y) heißt der Realteil und LaTeX: \,v(x,y) der Imaginärteil der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion nichts anderes als eine Abbildung von LaTeX: \mathbb{R}^2 nach LaTeX: \mathbb{R}^2 (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die Funktionentheorie auch mit Methoden der reellen Analysis aufbauen. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet und dabei die multiplikative Struktur des Körpers der komplexen Zahlen ins Spiel bringt, die dem Vektorraum LaTeX: \mathbb{R}^2 fehlt. Die grafische Darstellung komplexer Funktionen ist etwas umständlicher als gewohnt, da nun vier Dimensionen wiedergegeben werden müssen. Aus diesem Grund behilft man sich mit Farbtönen oder -sättigungen.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Wikibooks: Einführung in die Funktionentheorie – Lern- und Lehrmaterialien


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