Injektive Funktion

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Illustration einer Injektion.
Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

Eine Funktion LaTeX: f\colon X\to Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element LaTeX: y der Zielmenge LaTeX: Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element LaTeX: x der Ausgangs- oder Definitionsmenge LaTeX: X gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

LaTeX: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2

Die Zielmenge kann daher nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge LaTeX: f(X):=\{f(x)\mid x\in X\} darf eine echte Teilmenge der Zielmenge LaTeX: Y sein, d. h., es kann Elemente LaTeX: y\in Y geben, die keine Bildelemente LaTeX: f(x) sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement LaTeX: f(x) auftritt, dass also LaTeX: f surjektiv ist.

Dass eine Abbildung LaTeX: f\colon X\to Y injektiv ist, wird gelegentlich durch LaTeX: f\colon X\hookrightarrow Y ausgedrückt, mit einem aus LaTeX: \subset und LaTeX: \to zusammensetzten Zeichen. Es erinnert an die Einbettung einer Menge LaTeX: X in eine Obermenge LaTeX: Y durch eine Funktion LaTeX: f\colon X\to Y,\, f(x)=x, die jedes Element von LaTeX: X auf sich selbst abbildet.

Weblinks


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