Injektive Funktion

Illustration einer Injektion.
Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

Eine Funktion $f\colon X\to Y$ ist injektiv, wenn es zu jedem Element $y$ der Zielmenge $Y$ höchstens ein (also eventuell gar kein) Element $x$ der Ausgangs- oder Definitionsmenge $X$ gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

Die Zielmenge kann daher nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge $f(X):=\{f(x)\mid x\in X\}$ darf eine echte Teilmenge der Zielmenge $Y$ sein, d. h., es kann Elemente $y\in Y$ geben, die keine Bildelemente $f(x)$ sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement $f(x)$ auftritt, dass also $f$ surjektiv ist.

Dass eine Abbildung $f\colon X\to Y$ injektiv ist, wird gelegentlich durch $f\colon X\hookrightarrow Y$ ausgedrückt, mit einem aus $\subset$ und $\to$ zusammensetzten Zeichen. Es erinnert an die Einbettung einer Menge $X$ in eine Obermenge $Y$ durch eine Funktion $f\colon X\to Y,\,f(x)=x,$ die jedes Element von $X$ auf sich selbst abbildet.

Weblinks

•  Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien