Konforme Abbildung

Datei:Conformal map.svg

Ein rechtwinkliges Netz und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung $f$. Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich ebenfalls unter 90° schneiden.

Eine konforme Abbildung ist eine winkeltreue Abbildung.

Das bedeutet, dass aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein im Allgemeinen krummliniges Koordinatennetz entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkel und die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren.

Solche Abbildungen finden vielfache Anwendungen in der theoretischen Physik, u. a. in der Theorie komplizierter elektrostatischer Potentiale und der zugehörigen elektrostatischen Felder sowie in der Strömungsmechanik.

Definition

Eine lineare Abbildung $L:{\mathbb{ℝ}}^m\to {\mathbb{ℝ}}^n$ heißt konform, wenn

$\frac{⟨Lv,Lw⟩}{\Vert Lv{\Vert }_2\Vert Lw{\Vert }_2}=\frac{⟨v,w⟩}{\Vert v{\Vert }_2\Vert w{\Vert }_2}$

für alle $v,w\in {\mathbb{ℝ}}^m$ gilt und ihre Determinante positiv ist. (Ist sie negativ, so heißt sie anti-konform). Hierbei ist $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ das Standardskalarprodukt und $\Vert \cdot {\Vert }_2$ die euklidische Norm. Mit anderen Worten erhalten (lineare) konforme oder anti-konforme Abbildungen den Betrag des Winkels zwischen zwei beliebigen Vektoren; während eine konforme die Orientierung des Winkels erhält, kehrt sie eine anti-konforme um.

Des Weiteren heißt eine differenzierbare Abbildung $f$ konform in $x$, wenn ihr Differential in $x$ konform ist.

Siehe auch

• Konforme Abbildung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

•  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4.
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.

Weblinks

Commons: Conformal mapping – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• Programm mit Visualisierung konformer Abbildungen, auch eigene Formeln. Bei: 3D-XplorMath.org.