Metrischer Raum

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Ein metrischer Raum ist eine abstrakte mathematische Menge, auf der eine Metrik, d.h. eine Abstandsfunktion definiert ist, die je zwei Elementen dieses Raumes einen nicht negativen reellen Zahlenwert zuordnet, der als Abstand dieser beiden Elemente interpretiert wird.

Das klassische Beispiel eines metrischen Raumes ist der aus unserer unmittelbaren Anschauung bekannte dreidimensionale Euklidische Raum. Aber etwa auch die reellen Zahlen bilden mit der Distanzfunktion LaTeX: d(x,y) = \vert y - x \vert mathematisch betrachtet einen metrischen Raum.

Formale Definition

Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar LaTeX: (M,d) aus einer Menge LaTeX: M und einer auf dieser definierten Metrik

LaTeX: d \colon M \times M \to \mathbb{R}

sodass für alle LaTeX: x, y, z \in M gilt[1]

LaTeX: d(x,y) \ge 0 (Nicht-Negativität)
LaTeX: d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y (Identität)
LaTeX: d(x,y)  = d(y,x) (Symmetrie)
LaTeX: d(x,z) \le d(x,y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung)

Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Bedingungen und kann daher weggelassen werden:

LaTeX: d(x,y) + d(y,x) \ge d(x,x) (Dreiecksungleichung)
LaTeX: d(x,y) + d(x,y) \ge d(x,x) (Symmetrie)
LaTeX: 2d(x,y) \ge 0 (Identität)

woraus unmittelbar folgt:

LaTeX: d(x,y) \ge 0 (Nicht-Negativität)

Isometrie

Als Isometrie bezeichnet man eine Abbildung, die zwei metrische Räume so aufeinander abbildet, dass die Metrik erhalten bleibt. Eine isometrische Abbildung ist also abstandsherhaltend bzw. längentreu, d.h. der Abstand zweier Punkte LaTeX: P und LaTeX: Q ist gleich dem Abstand der zugehörigen Bildpunkte LaTeX: P' und LaTeX: Q'.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. B. Choudhary: The Elements of Complex Analysis, New Age International 1992, p. 20, ISBN 978-81-224-0399-2 google