Metrischer Raum

Ein metrischer Raum ist eine abstrakte mathematische Menge, auf der eine Metrik, d.h. eine Abstandsfunktion definiert ist, die je zwei Elementen dieses Raumes einen nicht negativen reellen Zahlenwert zuordnet, der als Abstand dieser beiden Elemente interpretiert wird.

Das klassische Beispiel eines metrischen Raumes ist der aus unserer unmittelbaren Anschauung bekannte dreidimensionale Euklidische Raum. Aber etwa auch die reellen Zahlen bilden mit der Distanzfunktion $d(x,y)=\vert y-x\vert$ mathematisch betrachtet einen metrischen Raum.

Formale Definition

Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar $(M,d)$ aus einer Menge $M$ und einer auf dieser definierten Metrik

$d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

sodass für alle $x,y,z\in M$ gilt

$d(x,y)\geq 0$ (Nicht-Negativität)

$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (Identität)

$d(x,y)=d(y,x)$ (Symmetrie)

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (Dreiecksungleichung)

Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Bedingungen und kann daher weggelassen werden:

$d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)$ (Dreiecksungleichung)

$d(x,y)+d(x,y)\geq d(x,x)$ (Symmetrie)

$2d(x,y)\geq 0$ (Identität)

woraus unmittelbar folgt:

$d(x,y)\geq 0$ (Nicht-Negativität)

Isometrie

Als Isometrie bezeichnet man eine Abbildung, die zwei metrische Räume so aufeinander abbildet, dass die Metrik erhalten bleibt. Eine isometrische Abbildung ist also abstandsherhaltend bzw. längentreu, d.h. der Abstand zweier Punkte $P$ und $Q$ ist gleich dem Abstand der zugehörigen Bildpunkte $P'$ und $Q'$.

Siehe auch

• Metrischer Raum - Artikel in der deutschen Wikipedia