Modus tollens

Modus tollens (lat. für „Modus des Aufhebens“, wörtlich: „aufhebender Modus“), eigentlich Modus tollendo tollens (in Abgrenzung zum Modus ponendo tollens), ist eine Schlussfigur, die in etlichen Kalkülen der klassischen Logik als Schlussregel verwendet wird.

Er besagt, dass aus den Voraussetzungen „Wenn $A$, dann $B$.“ und „Nicht $B$.“ auf „Nicht $A$.“ geschlossen werden kann.

Der Modus tollendo tollens ist damit ein Gegenstück zum Modus ponendo ponens.

Schema	Beispiel
$A\to B$ $\mathrm{\neg }B$ modus tollens $\mathrm{\neg }A$	Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass. Die Straße ist nicht nass. modus tollens Es hat nicht geregnet.

Der lateinische Name Modus tollendo tollens, „durch Aufheben aufhebende Schlussweise“, erklärt sich daraus, dass es sich um eine Schlussfigur (modus) handelt, die bei gegebener erster Prämisse, $A\to B$, durch das „Aufheben“ (tollendo) des Satzes B, also durch das Setzen seiner Verneinung, $\mathrm{\neg }B$, einen anderen Satz, nämlich $A$, ebenfalls „aufhebt“ (tollens), also zu seiner Verneinung, $\mathrm{\neg }A$, führt.

Als Aussage

Obwohl der Modus tollendo tollens eine Schlussregel, also ein metasprachliches Konzept ist, wird die Bezeichnung Modus tollens gelegentlich auch für objektsprachliche Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

$(\mathrm{\neg }B\wedge (A\to B))\to \mathrm{\neg }A$

Da aber Schlussregeln und Aussagen ganz unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich eher unglücklich, sie mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch und sollte normalerweise unterbleiben.

Beispiel

Aus den Voraussetzungen „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ und „Die Straße ist nicht nass“ lässt sich der logische Schluss „Es regnet nicht“ ziehen. Hingegen ist die Schlussrichtung „Die Straße ist nass, daher regnet es“ unzulässig und falsch.

Beweis

Die logische Äquivalenz der Aussagen $A\to B$ und $\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$ folgt aus den Definitionen der Subjunktion und der Negation.

A → B $\iff$ ¬B → ¬A f w f w w w w f w w w f w w w f f w w f f w w w w f w f

Bedeutung des Modus tollens

Nach dem Kritischen Rationalismus ist der Modus tollens die Grundlage der wissenschaftlichen Forschung. Dabei ist A eine abstrakte hypothetische Theorie, B ein Beobachtungssatz, der aus der Theorie folgt. Wissenschaftliche Experimente haben die Funktion, durch Beobachtung festzustellen, ob B wahr oder falsch ist. Ist B falsch, dann auch die ihm zugrundeliegende Theorie, diese ist dann falsifiziert.

Siehe auch

• Modus polendo ponens - Artikel in der deutschen Wikipedia - oft unexakt zu Modus ponens abgekürzt
• Modus tollendo tollens - Artikel in der deutschen Wikipedia - oft unexakt zu Modus tollens abgekürzt
• Modus tollendo ponens - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Modus ponendo tollens - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Kettenschluss - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Modus Barbara - Artikel in der deutschen Wikipedia