Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient, kurz auch „n über k“ genannt, ist eine mathematische Funktion, mit der sich die Koeffizienten der Potenzen eines Binoms $x+y$ direkt ohne Ausmultiplizieren berechnen lassen.

Binomischer Lehrsatz

Für natürliche Exponenten $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ ergibt sich damit für beliebige reelle oder komplexe Zahlen $x,y$ der binomische Lehrsatz in folgender Form:

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

Für die Binomialkoeffizienten des resultierenden Polynoms gilt dabei:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$

Beispiele

$n=2:(x+y{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})x^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})xy+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})y^2=x^2+2xy+y^2$

$n=3:(x+y{)}^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})x^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})x^{2}y+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})x{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})y^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten, die auch deren einfache Berechnung erlaubt. Dabei ergibt sich jeder Koeffizient aus der Summe der beiden darüber stehenden Koeffizienten entsprechend der Gleichung:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Kombinatorik

In der Kombinatorik lässt sich mithilfe des Binomialkoeffizenten ausrechnen, auf wie viele verschiedene Arten man $k$ Elemente ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Menge von insgesamt $n$ Elementen auswählen kann. So beträgt etwa für das in Österreich beliebte Lotto-Spiel „6 aus 45“ diese Anzahl für 6 Richtige:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{45}{6})=\frac{45!}{(45-6)!\cdot 6!}=\frac{45!}{39!\cdot 6!}=8.145.060$

Die Chance, sechs Richtige zu tippen, liegt also bei 1 / 8.145.060, d.h. bei rund 0,0000123 %.

Siehe auch

• Binomialkoeffizient - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Binomischer Lehrsatz - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Multinomialkoeffizient - Artikel in der deutschen Wikipedia