Rotation (Mathematik)

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Als Rotation (eng. curl) oder Rotor[1][2] bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen bestimmten Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet.

Die Rotation eines Strömungsfeldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht („rotiert“). Dieser Zusammenhang ist namensgebend.

Das Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe besitzt eine konstante Rotation parallel zur Drehachse
LaTeX: \left( \omega < 0 \right)

Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Beispiele:

  • Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windrichtung und -geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges eine von null verschiedene Rotation.
  • Das Vektorfeld LaTeX: \vec{v}(x, y, z) = \omega\cdot(x\,\hat{e}_y-y\,\hat{e}_x)\,, das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, LaTeX: \operatorname{rot}\,\vec{v}(x,y,z) = 2\,\omega \,\hat{e}_z\,.
  • Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.

Definition der Rotation in kartesischen Koordinaten

Seien LaTeX: (x,y,z) die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und LaTeX: \hat{e}_x, LaTeX: \hat{e}_y und LaTeX: \hat{e}_z die auf Einheitslänge normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes LaTeX: \vec F(x,y,z)=F_x(x,y,z)\, \hat{e}_x + F_y(x,y,z)\,\hat{e}_y  + F_z(x,y,z)\,\hat{e}_z ist das dreidimensionale Vektorfeld LaTeX: \operatorname{rot}\,\vec F(x,y,z) =
\left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\hat{e}_x
</p>
<pre>+
</pre>
<p>\left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\hat{e}_y
</p>
<pre>+
</pre>
<p>\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\hat{e}_z
\,. Man kann LaTeX: \operatorname{rot}\, \vec F als formale Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen LaTeX: \operatorname{rot}\,\vec F =\operatorname{det}\,
\begin{pmatrix}
\hat{e}_x & \frac{\partial}{\partial x} & F_x\\
\hat{e}_y & \frac{\partial}{\partial y} & F_y\\
\hat{e}_z & \frac{\partial}{\partial z} & F_z
</p>
<pre>\end{pmatrix}\,=\operatorname{det}\,
</pre>
<p>\begin{pmatrix}
\hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_x & F_y & F_z
\end{pmatrix}\,.
Allerdings sind hier die verschiedenen Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraumes.

Gibt man die Vektoren als Spaltenvektoren ihrer kartesischen Komponenten an, dann ist LaTeX: \operatorname{rot}\,\vec F das formale Kreuzprodukt des Spaltenvektors der partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten, des Nabla-Operators LaTeX: \nabla, mit dem Spaltenvektor der kartesischen Komponentenfunktionen LaTeX: \operatorname{rot}\,\vec F(x,y,z) = \nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
</p>
<pre> \frac{\partial}{\partial x} \\
 \frac{\partial}{\partial y} \\
 \frac{\partial}{\partial z}
</pre>
<p>\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
</p>
<pre> F_x\\
 F_y\\
 F_z
</pre>
<p>\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
</p>
<pre> \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\
 \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\
 \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
</pre>
<p>\end{pmatrix}\,.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Wie kann man sich vom Rotor (Wirbel) eines Vektorfeldes und vom Vektorpotentiale eine Anschauung verschaffen?, Walter Rogowski, Archiv für Elektrotechnik
  2. Mathematik für Naturwissenschaftker und Ingenieure: Tensorrechnung, Hans Karl Iben


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