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Rotationshyperboloid

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Rotationshyperboloid
Mae West mit Tram

Das einschalige Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Es ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Man beachte: Es gibt auch ein zweischaliges Rotationshyperboloid (siehe Hyperboloid).

Anwendung

Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im Bauwesen bei Hyperboloidkonstruktionen angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute Wladimir Schuchow für die Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896.

Der Architekt Antoni Gaudí verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk Mae West in München ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus CFK.

Gleichung

Die Gleichung für das Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung

LaTeX: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1

eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Einsetzen von LaTeX: \ {a = b} .

Die Gerade mit der Parametergleichung

LaTeX: \vec{x} = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} \quad (r\ und\ \gamma\ const.)

erzeugt bei Rotation um die z-Achse das Rotationshyperboloid

LaTeX: \vec{x} = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} .

Siehe auch

Literatur

  • Rotationshyperboloid. In: Klaus-Jürgen Schneider, Rüdiger Wormuth (Hrsg.): Baulexikon. Erläuterung wichtiger Begriffe des Bauwesens. 2., erweiterte Auflage. Bauwerk u. a., Berlin 2009, ISBN 978-3-89932-159-3.


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