Satz des Pythagoras

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Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind LaTeX: a und LaTeX: b die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und LaTeX: c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

LaTeX: a^2 + b^2 = c^2

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge LaTeX: a+b

In ein Quadrat mit der Seitenlänge LaTeX: a + b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten LaTeX: a, LaTeX: b und LaTeX: c (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge LaTeX: a + b). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge LaTeX: c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge LaTeX: a und einem mit Seitenlänge LaTeX: b. Die Fläche LaTeX: c^2 entspricht also der Summe der Fläche LaTeX: a^2 und der Fläche LaTeX: b^2, also

LaTeX: a^2 + b^2 = c^2.
Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge LaTeX: a+b und somit die Fläche LaTeX: (a+b)^2. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von LaTeX: \tfrac{ab}2 (also insgesamt LaTeX: 2ab) haben, so bleibt die Fläche LaTeX: c^2 übrig. Es ist also

LaTeX: (a+b)^2 = 2ab+c^2.

Auflösung der Klammer liefert

LaTeX: a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2.

Zieht man nun auf beiden Seiten LaTeX: 2ab ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit LaTeX: h, die Hypotenusenabschnitte mit LaTeX: p und LaTeX: q bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Ähnlichkeit der Dreiecke LaTeX: ABC, LaTeX: BCD und LaTeX: ADC

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel LaTeX: \delta im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke LaTeX: ABC, LaTeX: BCD und LaTeX: ADC ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung

LaTeX: ADC + BCD = ABC

den Satz.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Satz des Pythagoras aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.