Satzgruppe des Pythagoras

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Die Satzgruppe des Pythagoras umfasst drei Sätze der Mathematik, die sich mit Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken befassen:

  1. Satz des Pythagoras (Euklid: Elemente, Buch I, § 47 und Buch VI, § 31)
  2. Kathetensatz des Euklid (Euklid: Elemente, Buch I, § 47)
  3. Höhensatz des Euklid (Euklid: Elemente, Buch VI – § 8, Buch II – § 14 (implizit))

Die einzelnen Sätze

Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenquadrat und Kathetenquadraten
Hauptartikel: Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten.

Seien LaTeX: a,b,c die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, wobei LaTeX: c die Hypotenuse sei. Das Quadrat über LaTeX: c ist flächengleich zur Summe der Quadrate über LaTeX: a und LaTeX: b.

Als Formel:

LaTeX: a^2+b^2=c^2

Kathetensatz des Euklid

Kathetensatz: Die beiden roten Bereiche haben denselben Flächeninhalt, ebenso die beiden grünen

Die Verlängerung des über der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks errichteten Lots (Höhe des Dreiecks) teilt das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke. Der Kathetensatz besagt, dass je eines der Rechtecke gleich große Fläche wie je eines der Quadrate über den beiden Katheten hat.

Seien LaTeX: a,b,c die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, wobei LaTeX: c die Hypotenuse sei. Der Lotfußpunkt teilt die Hypotenuse in die Strecken LaTeX: p und LaTeX: q. Es gilt:
Das Quadrat über LaTeX: a ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten LaTeX: p und LaTeX: c, und das Quadrat über LaTeX: b ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten LaTeX: q und LaTeX: c.

Als Formeln:

LaTeX: a^2=p \cdot c
LaTeX: b^2=q \cdot c

Höhensatz des Euklid

Hauptartikel: Höhensatz
Rechtwinkliges Dreieck mit pq und h²

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist. Oder:

Seien LaTeX: a,b,c die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks und LaTeX: p und LaTeX: q diejenigen Teile der Hypotenuse LaTeX: c, die durch deren Teilung am Lotfußpunkt der Höhe LaTeX: h entstehen. Dann ist
LaTeX: h^2=p \cdot q.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

Beweise

Für den Satz des Pythagoras existieren sehr viele verschiedene Beweise, siehe Artikel Satz des Pythagoras. Aus diesem kann man den Höhensatz und den Kathetensatz durch algebraische Berechnung beweisen, aber auch umgekehrt folgt aus jedem dieser beiden Sätze der Satz des Pythagoras! Die drei Sätze sind daher äquivalent: Ist einer der drei Sätze bewiesen, gelten ebenso die anderen zwei Sätze der Satzgruppe.

Algebraische Beweise

Beweis des Höhensatzes

Der Beweis des Höhensatzes kann mit dem Satz des Pythagoras LaTeX: a^2+b^2=c^2 und der Binomischen Formel LaTeX: (p+q)^2=p^2+2pq+q^2 geführt werden.

Im Diagramm erkennt man drei rechtwinklige Dreiecke, eines mit den Seiten LaTeX: a,b,c, dann noch jeweils eines mit LaTeX: h,p,a und LaTeX: h,q,b. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:

Rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen a, b, c, Höhe h und Hypotenusenabschnitten p,q
LaTeX: a^2+b^2=c^2
LaTeX: h^2+p^2=a^2
LaTeX: h^2+q^2=b^2

Außerdem gilt LaTeX: p+q=c. Das Quadrat ist also:

LaTeX: (p+q)^2=c^2.

Nach der ersten binomischen Formel ist dies

LaTeX: p^2+2pq+q^2=c^2.

Setzt man dies für LaTeX: c^2 in die erste Formel ein und für LaTeX: a^2 und LaTeX: b^2 den jeweiligen linken Teil der zweiten und dritten Formel, so erhält man:

LaTeX: h^2+p^2 + h^2+q^2=p^2+2pq+q^2

und damit LaTeX: 2h^2=2pq. Nach Division durch zwei folgt der zu beweisende Höhensatz:

LaTeX: h^2=pq.

Beweis des Kathetensatzes

Dieser Beweis verläuft analog zum Beweis des Höhensatzes mithilfe obiger vier Formeln: Es ist

LaTeX: a^2 = c^2-b^2=p^2+2pq+q^2-(q^2+h^2)=p^2+2pq+q^2-q^2-a^2+p^2=2p^2+2pq-a^2

und damit

LaTeX: 2a^2 = 2p(p + q) = 2pc
LaTeX: a^2 = pc

analog gilt dann

LaTeX: b^2 = qc.

Beweis des Kathetensatzes mit Hilfe des Höhensatzes

Bezogen auf die Grafik beim Beweis des Höhensatzes:

LaTeX: a^2 = p^2 + h^2
LaTeX: a^2 = p^2 + pq
LaTeX: a^2 = p (p + q)
LaTeX: a^2 = p c
LaTeX: b^2 = q^2 + h^2
LaTeX: b^2 = q^2 + p q
LaTeX: b^2 = q (q + p)
LaTeX: b^2 = q c

Geometrische Beweise

Für den Höhensatz und den Kathetensatz existieren auch geometrische Beweise:

Ergänzungsbeweis des Höhensatzes

Dreiecke mit h,p und h,q sowie h² und pq

Ergänzungsbeweis zum Höhensatz

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, falls die Katheten gleich sind (der eingeschlossene Winkel ist ja auch gleich).

Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck an der Höhe LaTeX: h in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten LaTeX: p und LaTeX: h bzw. LaTeX: q und LaTeX: h (gelbes und rotes Dreieck im Diagramm), so kann man diese an ein Quadrat mit der Seitenlänge LaTeX: h (im Diagramm unten links) und an ein Rechteck mit den Seiten LaTeX: p und LaTeX: q anlegen (im Diagramm unten rechts).

In beiden Fällen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten LaTeX: p+h und LaTeX: q+h. Das rechte und linke Dreieck sind also kongruent. Das erste besteht aber aus dem gelben und roten Dreieck und dem Quadrat LaTeX: h^2, das zweite aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck LaTeX: pq. Die Fläche des Quadrats muss daher gleich der Fläche des Rechtecks sein, also LaTeX: h^2=pq.

Scherungsbeweis

Schert man ein Rechteck zu einem Parallelogramm, so bleibt die Fläche erhalten. Damit lässt sich der Höhensatz auch beweisen. Die Animation veranschaulicht den Beweis:

Animation mit dreifacher Scherung des Quadrates h²

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Höhensatz mittels Scherung

Mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke muss man noch beweisen, dass die neue Höhe LaTeX: q tatsächlich dem Hypotenusenabschnitt entspricht. Darauf wird hier verzichtet.

Scherungsbeweis des Kathetensatzes

Der Scherungsbeweis des Satzes des Pythagoras beweist gleichzeitig auch den Kathetensatz.

Animation mit zweifacher Scherung der Kathetenquadrate

Veranschaulichung des Beweisgangs zum Kathetensatz mittels Scherung

Beweis der kompletten Satzgruppe über ähnliche Dreiecke

Die Seitenverhältnisse der ähnlichen Dreiecke liefern sofort die beiden Kathetensätze und den Höhensatz. Der Satz des Pythagoras ergibt sich dann direkt aus der Addition der beiden Kathetensätze.

Pythagoras through similarity2.svg

Siehe auch

Literatur

  • A. M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1995.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
  • Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118.
  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 70–78 (Auszug (Google)).
  • Euklid: Elemente. Buch I – § 47, Buch II – § 14, Buch VI – § 8, Buch VI – § 31 (Online-Kopie).

Weblinks


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Satzgruppe des Pythagoras aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.