Stabilitätstheorie

Die mathematische Stabilitätstheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen dynamischer Systeme auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein, z. B. ein periodischer Orbit. Ein System ist instabil wenn eine kleine Störung zu großen und aufklingenden Abweichungen führt.

Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten, z. B. in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik.

Die Lösungsansätze für die Probleme der Stabilitätstheorie sind gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Mathematische Stabilitätsbegriffe

Für die Charakterisierung der Stabilität der Ruhelage eines dynamischen Systems ${\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})$ existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:

• Eine Ruhelage ${\vec {x}}_{R}$ heißt Ljapunow-stabil, wenn eine hinreichend kleine Störung auch stets klein bleibt. Präziser formuliert: Für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta (\varepsilon )>0$ derart, dass für alle Zeiten $t\geq 0$ und alle Trajektorien ${\vec {x}}(t)$ mit $\|{\vec {x}}(0)-{\vec {x}}_{R}\|<\delta (\varepsilon )$ gilt: $\|{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}_{R}\|<\varepsilon$.
• Eine Ruhelage ${\vec {x}}_{R}$ heißt attraktiv, wenn es ein $\eta >0$ derart gibt, dass jede Trajektorie ${\vec {x}}(t)$ mit $\|{\vec {x}}(0)-{\vec {x}}_{R}\|<\eta$ für alle $t\geq 0$ existiert und die folgende Grenzwertbedingung erfüllt: $\lim _{t\to \infty }{\vec {x}}(t)={\vec {x}}_{R}.$
• Eine Ruhelage heißt asymptotisch stabil, wenn sie Ljapunow-stabil und attraktiv ist.
• Eine Ruhelage heißt neutral stabil oder marginal stabil, wenn sie stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist.

Für den Fall diskreter Systeme, die durch Differenzengleichungen ${\vec {x}}_{k+1}=f({\vec {x}}_{k})$ beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung ${\vec {x}}_{k+1}=f({\vec {x}}_{k})$ und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.

Siehe auch

• Stabilitätstheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

•  Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2 Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• W. Hahn: Stability of Motion. Springer, 1967.
• N. Rouche, P. Habets und M. Laloy: Stability Theory by Liapunov's Direct Method. Springer, 1977.
•  Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).

Weblinks

 Wikiversity: Eine Einführung in Stabilitätsbegriffe für Matrizen – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

Commons: Stability theory – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• Stability. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben)