Topologie (Mathematik)

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Tasse und Volltorus sind zueinander homöomorph.
Bemerkung: Ein Homöomorphismus wäre eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.

Die Topologie (griech. τόπος tópos „Ort, Platz“ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie entstand gegen Ende des 19. Jahrhunderts als eigenständige Disziplin und beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor.

Neben der Algebra kann sie als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für die Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis und die Theorie der Lie-Gruppen und hat auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet.

Topologischer Raum

Der grundlegende Begriff der Topologie ist der des topologischen Raums bzw. der topologischen Struktur, welcher eine weitreichende Abstraktion der Vorstellung von „Nähe“ darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie Stetigkeit und Grenzwert erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen.

Ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist, wird als topologischer Vektorraum bezeichnet.

Stetigkeit

Ein wichtiger Begriff der Topologie ist die Stetigkeit. Stetige Abbildungen entsprechen in der Topologie dem, was man in anderen mathematischen Kategorien meist Homomorphismen nennt.

Homöomorphismus

Eine umkehrbare, in beiden Richtungen stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt ein Homöomorphismus und entspricht dem, was in anderen Kategorien meist Isomorphismus heiß: Homöomorphe Räume sind mit topologischen Mitteln nicht zu unterscheiden. Ein grundlegendes Problem dieser Disziplin ist es, zu entscheiden, ob zwei Räume homöomorph sind, oder allgemeiner, ob stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften existieren.

Topologische Eigenschaften einer Struktur werden solche genannt, die nur von der Struktur des zugrundeliegenden topologischen Raumes abhängen. Dies sind gerade solche Eigenschaften, die durch „Verformungen“ oder durch Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut (dessen Form in der Mathematik als Volltorus bezeichnet wird) und eine einhenkelige Tasse homöomorph, da eine in die andere ohne Schnitt transformiert werden kann (siehe Animation rechts). Dagegen ist die Oberfläche des Torus von der Kugelfläche topologisch verschieden: Auf der Kugel lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt zusammenziehen (die anschauliche Sprache lässt sich präzisieren), auf dem Torus nicht jede.

Teilgebiete

Die Topologie gliedert sich in Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die topologische Graphen- und die Knotentheorie. Die mengentheoretische Topologie kann als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werden. In dieser werden insbesondere auch topologische Räume betrachtet, deren Eigenschaften sich besonders weit von denen geometrischer Figuren unterscheiden.

Siehe auch

Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Topologie (Mathematik) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation und der Creative Commons Attribution/Share Alike. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.