Kreis des Apollonios

Der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis), benannt nach Apollonios von Perge ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Satz und Definition

Kreis des Apollonios

• Gegeben seien eine Strecke $\overline{AB}$ und eine positive reelle Zahl $\lambda \ne 1$. Dann ist die Punktmenge

$k_A=\{X|\overline{AX}:\overline{XB}=\lambda \}$

ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $\lambda$. Diese beiden Punkte ($T_i$ und $T_a$) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke $\overline{AB}$ harmonisch. Ist nun $X$ ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft $\overline{AX}:\overline{XB}=\lambda$, so teilt die Gerade $X{T}_i$ die gegebene Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $\overline{XA}:\overline{XB}$. $X{T}_i$ muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels $AXB$ übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade $X{T}_a$ den Nebenwinkel von $\mathrm{\angle }AXB$ halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss $X$ auf dem Thaleskreis über $\overline{T_i{T}_a}$ liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt $X$ des genannten Thaleskreises die Bedingung $\overline{AX}:\overline{XB}=\lambda$.

Im speziellen Fall $\lambda =1$ ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere Eigenschaften

• Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt $r_A=\frac{\lambda }{|{\lambda }^2-1|}\overline{AB}$.

• Der durch $T_i$ gehende Apollonioskreis für die Strecke $\overline{AB}$ ist der durch $T_i$ gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte $A,B$ zueinander invers sind.

• Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig. Dies gilt insbesondere auch für den über $\overline{AB}$ geschlagenen Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis $\frac{\lambda +1}{\lambda -1}$ statt $\lambda$ ) – ist der Kreis über $\overline{AB}$ Apollonioskreis für die Strecke $\overline{T_i{T}_a}$.

• Die drei Kreise des Apollonios eines Dreiecks schneiden sich im isodynamischen Punkt des entsprechenden Dreiecks.

Literatur

• Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte: Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Springer, 2016, ISBN 9783662503416, S. 98
• Joachim Engel, Andreas Fest: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. 40
• Nathan Altshiller: On the Circles of Apollonius. The American Mathematical Monthly, Band 22, Nr. 8 (Okt., 1915), S. 261–263 (JSTOR 2691113)
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 40, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

Commons: Aplolloniuskreise – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf (PDF-Datei; 261 kB)
• Apolloniuskreis auf cut-the-knot.org
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics- englisches Skript, S. 31