Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen $k_{1},\dotsc ,k_{r}$ und $n:=k_{1}+\dotsb +k_{r}$ ist er definiert als

${n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}$

Dabei ist $x!$ die Fakultät von $x$.

Eigenschaften

Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als

${k_{1}+\cdots +k_{r} \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{r} \choose k_{r}}=\prod _{i=1}^{r}{\sum _{s=1}^{i}k_{s} \choose k_{i}}$.

Anwendungen und Interpretationen

Multinomialsatz

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Multinomialsatz oder Polynomialsatz)

$(x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\dotsm x_{r}^{k_{r}}$.

Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:

$\forall r\in \mathbb {N} :r^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot 1^{k_{1}}\dotsm 1^{k_{r}}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}.$

Multinomialverteilung

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

$P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\dotsm p_{r}^{k_{r}}$,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische Deutungen

Objekte in Kisten

Der Multinomialkoeffizient ${\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $n$ Objekte in $r$ Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau $k_{1}$ Objekte sollen, in die zweite Schachtel $k_{2}$ Objekte usw.

Beispiel

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um $n=32$ Objekte handelt, die in $r=4$ Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je $k_{1}=k_{2}=k_{3}=10$ Objekte und in die vierte Schachtel $k_{4}=2$ Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

${32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640$

Anordnung von Dingen

Der Multinomialkoeffizient ${\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}$ gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von $n$ Dingen an, wobei das erste $k_{1}$-mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite $k_{2}$-mal usw.

Beispiel

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M") $k_{1}=1$-mal, das zweite ("I") $k_{2}=4$-mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P") $k_{4}=2$-mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient ${\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34.650$

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche Simplizes

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die $r$-ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu $r$-dimensionalen pascalschen Simplizes.