Folge (Mathematik)

Als Folge (eng. sequenz) wird in der Mathematik eine endliche oder unendliche abzählbare Menge fortlaufend nummerierter und mit einem entsprechenden Index versehener Elementen bezeichnet. Im Unterschied zu einer ungeordneten Menge kommt es also hier auf die Reihenfolge an. Eine endliche Folge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Elementen wird auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupel genannt. Die Elemente der Folge können explizit aufgezählt oder durch ein entsprechendes - gegebenenfalls rekursives - Bildungsgesetz angegeben werden, z.B. die Folge der natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)} mit dem expliziten Bildungsgesetz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n = n} bzw. rekursiv Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{n+1} = a_n + 1} .

Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)} ist ein 2-Tupel, d.h. eine Folge mit genau zwei Elementen. Nach dem von Giuseppe Peano (1858-1932) formulierten Paaraxiom gelten zwei geordnete Paare genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind, d.h.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b) = (c,d) \iff a=c ~\text{und}~ b=d}

Konvergenz

→ Hauptartikel: Konvergenz

Unendliche Folgen können gegen einen endlichen Grenzwert oder Limes konvergieren, z.B.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0}

oder im nachstehenden Beispiel nach Kürzung durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^2} unter Berücksichtigung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac1{n^2} = 0}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{4n^2+3} = \frac{1 + \frac1{n^2}}{4 + \frac1{n^2}} = \frac{1+0}{4+0} = \frac14}

Beispiele

Arithmetische Folge

Bei einer arithmetischen Folge, beispielsweise der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11, \ldots)} , ist die Differenz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{i+1}=a_i +d\quad } (rekursive Formel)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i = a_0 + i\cdot d \quad} (explizite Formel)

Geometrische Folge

Bei einer geometrischen Folge, beispielsweise der Folge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64, \ldots)} , ist der Quotient Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{i+1}=a_i \cdot q \quad} (rekursiv)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i = a_0 \cdot \,q^{i}} (explizit)

Eine geometrische Folge konvergiert genau dann, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |q|<1} .

Cauchy-Folge

Bei einer Cauchy-Folge wird der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein.

Eine Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), ist eine Folge, bei der im Verlauf der Folge die Differenz der Folgenglieder beliebig klein wird, d. h.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon }

Cauchy-Folgen sind grundlegend für den Aufbau der Analysis mittels der von Karl Weierstraß (1815-1897) Ende des 19. Jahrhunderts eingeführten Epsilontik.

Siehe auch

• Reihe (Mathematik)
• Folge (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia