Tensor

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Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung
Das dreidimensionale Levi-Civita-Symbol (auch Epsilontensor oder Permutationssymbol genannt) als Beispiel für einen einfachen dreistufigen Tensor.

Ein Tensor (von lat. tendere „spannen“) ist eine algebraische Verallgemeinerung der mathematischen Begriffe von Skalar, Vektor und Matrix. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker Woldemar Voigt geprägten Sinn[1] versteht man darunter eine multilineare Abbildung von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor.

Der Rang bzw. die Stufe eines Tensors gibt dessen Dimensionalität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von Augustin-Louis Cauchy eingeführte Spannungstensor LaTeX: \boldsymbol{\sigma}, der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:

LaTeX: 
\boldsymbol{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{x}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\
\tau_{yx}&\sigma_{y}&\tau_{yz}\\
\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\
\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}
\end{pmatrix}

Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor LaTeX: \hat n auf den entsprechenden Spannungsvektor LaTeX: \vec T^{\hat n} ab:

LaTeX: \vec T^{(\hat n)}=\boldsymbol{\sigma} \cdot\hat n

Einsteinsche Summenkonvention

Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein in seiner grundlegenden Arbeit über die Allgemeine Relativitätstheorie eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben[2]. So lässt sich beispielsweise das Matrixprodukt zweier quadratischer LaTeX: n \times n -Matrizen LaTeX: A und LaTeX: B

LaTeX: (A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj} vereinfacht wie folgt anschreiben: LaTeX:  (A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}

Vierertensor

Ein Vierertensor ist ein Tensor über dem 4-dimensionalen Minkowski-Raum. Vierertensoren werden insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie und in der Quantenfeldtheorie verwendet. Ein Vierertensor zweiter Stufe lässt sich durch eine 4 x 4 Matrix darstellen, wie beispielsweise der metrische Tensor LaTeX: \eta_{\mu\nu}:

LaTeX: \eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(-1,1,1,1).

Weitere Beispiele sind der elektromagnetische Feldstärketensor und der Energie-Impuls-Tensor.

Vierertensoren vierter Stufe lassen sich durch LaTeX: 4^4=256 Koeffizienten der Form LaTeX: R^m_{ikp} darstellen, wie etwa der Riemannsche Krümmungstensor.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Woldemar Voigt: Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 archive.org
  2. Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, doi:10.1002/andp.19163540702