Würfel (Geometrie)

Würfel

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriech. κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

• sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
• zwölf (gleich langen) Kanten und
• acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped, ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Symmetrie

Würfel in Kabinettprojektion (Dimetrie)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

• drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
• vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
• sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
• neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
• 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

• punktsymmetrisch (zum Mittelpunkt $M$).

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als $O_{h}$, in der Notation von Hermann / Mauguin als $4/m\ {\bar {3}}\ 2/m$ oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• den Hexaederstumpf bzw. den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
• das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
• den Oktaederstumpf bzw. das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

• das Rhombendodekaeder mit 6 + 8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Spielwürfel

Zwei klassische 6-seitige Spielwürfel

Bei einem klassischen Spielwürfel werden die sechs quadratischen Seitenflächen üblicherweise mit 1 bis 6 Punkten gekennzeichnet.

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

• Würfel (Geometrie) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

• Würfel (Geometrie) - Artikel in der deutschen Wikipedia