Oktaederstumpf

3D-Ansicht eines abgestumpften Oktaeders (Animation)

Entstehung des Oktaederstumpfs aus einem Oktaeder

Der Oktaederstumpf ist ein Polyeder (Vielflächner), das zu den archimedischen Körpern zählt und durch Abstumpfung der sechs Ecken eines Oktaeders entsteht. Anstelle der Ecken befinden sich nun dort sechs Quadrate; aus den acht regelmäßigen Dreiecken werden regelmäßige Sechsecke (Hexagon). Der Oktaederstumpf tritt gegenüber verwandten Polyedern dadurch hervor, dass er lückenlos den Raum füllt und eine sehr geringe Oberfläche pro Volumen besitzt.

Eigenschaften

Der Oktaederstumpf weist mehrere Symmetrien auf. Seine 24 Ecken sind alle gleichwertig: An jeder Ecke treffen sich ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke, und durch Drehung des Körpers kann jede Ecke auf eine beliebige andere Ecke abgebildet werden. Im kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse lässt sich der Oktoederstumpf so am Koordinatenursprung zentrieren, dass die Koordinaten seiner Ecken Permutationen von (0, ±1, ±2) sind. Die Kantenlänge ist dann $a={\sqrt {2}}$.

Fügt man bei der Abstumpfung eines Oktaeders zum Oktaederstumpf die sechs abgeschnittenen Pyramiden derart paarweise zusammen, dass ihre quadratischen Grundflächen aufeinandertreffen, so entstehen drei vollwertige Oktaeder.

Der zum Oktaederstumpf duale Körper ist das Tetrakishexaeder.

Raumfüllung

Oktaederstümpfe füllen den Raum lückenlos aus, wenn sie – wie in den folgenden Grafiken gezeigt – zu einer Parkettierung des Raums aneinandergefügt werden. Aus diesem Grund wurde seine Form unter anderem als Grundbaustein für Schaum, Werkstoffe und für modulare Raumschiffe oder Raumstationen vorgeschlagen.

Zusätzlich gibt es mehrere Raumfüllungen mit Lücken, die auf Oktaederstümpfen aufbauen. Diese entsprechen der Kristallstruktur von Zeolith A, Zeolith X, Zeolith Y, Sodalith und Faujasit.

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Formeln

Größen eines Oktaederstumpfs mit Kantenlänge a
Volumen  ≈ 11,31 a3	$V=8\,a^{3}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt  ≈ 26,78 a2	$A_{O}=6\,a^{2}\left(1+2{\sqrt {3}}\right)$
Umkugelradius  ≈ 1,58 a	$R={\frac {a}{2}}{\sqrt {10}}$
Kantenkugelradius  = 1,5 a	$r={\frac {3}{2}}\,a$
1. Flächenwinkel  (Hexagon–Hexagon)  ≈ 109° 28′ 16″	$\cos \,\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}$
2. Flächenwinkel  (Hexagon–Quadrat)  ≈ 125° 15′ 52″	$\cos \,\alpha _{2}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
Eckenraumwinkel  = π	$\cos \,\Omega =-1$

Siehe auch

• Oktaederstumpf - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Rhombendodekaeder - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

•  Norbert Treitz: Kelvins Vermutung.
• Robert A. Freitas, Jr.. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown TX 1999. Abgerufen am 31. Juli 2011.
• George W. Hart. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Abgerufen am 31. Juli 2011.

Weblinks

Commons: Oktaederstumpf – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wiktionary: Oktaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Oktaederstumpf. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Archimedische Körper

Tetraederstumpf · Kuboktaeder · Hexaederstumpf · Oktaederstumpf · Rhombenkuboktaeder · Kuboktaederstumpf · Ikosidodekaeder · Dodekaederstumpf · Ikosaederstumpf · Abgeschrägtes Hexaeder · Rhombenikosidodekaeder · Ikosidodekaederstumpf · Abgeschrägtes Dodekaeder