Lichtkegel

Als Lichtkegel eines Ereignisses $E$ bezeichnet man in der Relativitätstheorie die Menge aller Ereignisse $E^{\prime }$, die sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ auf $E$ auswirken oder von $E$ mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses $E$ befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

• dem Rückwärtslichtkegel, der genau die Ereignisse $E^{\prime }$ enthält, die vor $E$ stattgefunden haben (Vergangenheit, $t^{\prime }<t$) und $E$ mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
• dem Vorwärtslichtkegel, das sind die Ereignisse $E^{\prime },$ die später als $E$ stattfinden (Zukunft, $t^{\prime }>t$) und von $E$ mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

• $(t,x,y,z)$ die Orts- und Zeitkoordinaten von $E$,
• $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ die Koordinaten von $E^{\prime }$,
• $(t^{\prime }-t,x^{\prime }-x,y^{\prime }-y,z^{\prime }-z)$ die Komponenten des Differenzvektors $E^{\prime }-E$,
• $\mathrm{d}{s}^2:=c^2\cdot \mathrm{d}{t}^2-\mathrm{d}{x}^2-\mathrm{d}{y}^2-\mathrm{d}{z}^2$ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist $(+,-,-,-)$. Für eine Signatur $(-,+,+,+)$ gelten für $\mathrm{d}{s}^2$ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Lichtartiger Differenzvektor

Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:

$\begin{array}{cccc}& & \mathrm{d}{s}^2& =0\\ \iff & & c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2& =0\\ \iff & & {\left(\frac{x^{\prime }-x}{t^{\prime }-t}\right)}^2+{\left(\frac{y^{\prime }-y}{t^{\prime }-t}\right)}^2+{\left(\frac{z^{\prime }-z}{t^{\prime }-t}\right)}^2& =c^2\\ \iff & & v_x^2+v_y^2+v_z^2& =c^2,\end{array}$

dann liegt $E^{\prime }$ in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von $E.$ Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in $E$ aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Zeitartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor zeitartig:

$\begin{array}{cccc}& & \mathrm{d}{s}^2& >0\\ \iff & & c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2& >0\\ \iff & & v_x^2+v_y^2+v_z^2& <c^2,\end{array}$

so liegt $E^{\prime }$ im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von $E$, je nachdem, ob es vor oder nach $E$ stattgefunden hat. Dann kann es sich bei $E^{\prime }$ um die Ursache oder um die Auswirkung von $E$ handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie $E$ (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Raumartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor raumartig:

$\begin{array}{cccc}& & \mathrm{d}{s}^2& <0\\ \iff & & c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2& <0\\ \iff & & v_x^2+v_y^2+v_z^2& >c^2,\end{array}$

so liegt $E^{\prime }$ außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von $E$ und vor $E$ sind für einen Beobachter, der sich in $E$ aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Siehe auch

• Lichtkegel - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).

Weblinks

 Wiktionary: Lichtkegel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF; 2,5 MB).