Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation, nach Hendrik Antoon Lorentz, ist eine Koordinatentransformation in der Physik, um Phänomene in verschiedenen Bezugssystemen zu beschreiben. Sie verbindet in einer vierdimensionalen Raumzeit die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Die Lorentz-Transformationen ist die relativistische Verallgemeinerung der Galilei-Transformation und bilden daher die Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein.

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in $x$-Richtung	Inverse Galilei-Transformation
$t'=t$ $x'=x-v\cdot t$ $y'=y$ $z'=z$	$t=t'$ $x=x'+v\cdot t'$ $y=y'$ $z=z'$

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in $x$-Richtung	Inverse Lorentz-Transformation
$t'=\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x\right)/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $x'=\left(x-v\cdot t\right)/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $y'=y$ $z'=z$	$t=\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x'\right)\cdot {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $x=\left(x'+v\cdot t'\right)\cdot {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $y=y'$ $z=z'$

Es gilt die Äquivalenzumformung.

Lorentz-Invariante

Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Masse $m$, die Teilchenzahl, die elektrische Ladung etc.

Bei einem Lorentz-Boost in Richtung $x$ lässt sich zeigen, dass

$c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$

gelten muss. Der Ausdruck $\textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}$ ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant.

In drei Raumdimensionen ist die Norm $\textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit $c$ multiplizierte Masse $mc$, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc.

Literatur

• Gottfried Beyvers, Elvira Krusch: Kleines 1 x 1 der Relativitätstheorie - Einsteins Physik mit Mathematik der Mittelstufe, Books on Demand, 2007, ISBN 978-3-8334-6291-7