Äquivalenzumformung

Aus AnthroWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lat. aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage. Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder ohne Probleme rückgängig gemacht werden. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

LaTeX: x+5=7\;

die Zahl 5 (indem man die Zahl auf beiden Seiten subtrahiert), erhält man die Gleichung

LaTeX: x=2\! .

Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung.

Zu beachten ist, dass die Multiplikation mit Null oder Division durch Null oft versteckt auftritt; so ist beispielsweise die Multiplikation mit LaTeX: x-1 keine Äquivalenzumformung, da dieser Multiplikator im Falle LaTeX: x=1 eben Null sein kann. Allerdings kann man durch Fallunterscheidung sicherstellen, dass eine Multiplikation oder Division mit Null nicht stattfindet: Fälle, in denen ein Multiplikator oder Divisor Null ist, sind gesondert zu untersuchen; ansonsten sind die umgeformten Aussagen nur unter einer entsprechenden Zusatzvoraussetzung (also nicht allgemein) zueinander äquivalent.

Ebenfalls keine Äquivalenzumformung ist im Allgemeinen das Quadrieren, so hat beispielsweise die Gleichung LaTeX: x=2 eine reelle Lösung, die quadrierte Gleichung LaTeX: x^2=4 hingegen zwei reelle Lösungen (nämlich +2 und −2). (Es sei aber angemerkt: Durch einschränkende Bedingungen an LaTeX: x kann man auch das Quadrieren zu einer Äquivalenzumformung machen. Setzt man bspw. LaTeX: x \le 0 voraus, so sind die Gleichungen LaTeX: x^2=4 und LaTeX: x=-2 gleichwertig!)

Generell ist die Anwendung einer injektiven Funktion auf beide Seiten einer Gleichung eine Äquivalenzumformung; obiges Beispiel der Subtraktion von 5 auf beiden Seiten entspricht der Anwendung der Funktion LaTeX: t\mapsto t-5.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

Bei Ungleichungen ist das Inversionsgesetz zu beachten, nach dem bei Multiplikation mit bzw. Division durch eine negative Zahl die Ordnungsrelation die Richtung ändert. Multipliziert man beispielsweise die Ungleichung

LaTeX: x>y\!

mit −5, so erhält man die äquivalente Ungleichung

LaTeX:  -5x < -5y \! .

Division durch −5 liefert wieder die ursprüngliche Ungleichung.

Generell ist die Anwendung einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung; bei streng monoton steigenden Funktionen bleibt die Richtung der Ordnungsrelation erhalten; bei streng monoton fallenden Funktionen ändert die Ordnungsrelation die Richtung. Obiges Beispiel der Multiplikation mit −5 auf beiden Seiten entspricht der Anwendung der streng monoton fallenden Funktion LaTeX: t\mapsto -5t.

Multipliziert man eine Ungleichung mit einer Zahl, deren Vorzeichen nicht bekannt ist, so ist eine Fallunterscheidung erforderlich. So möchte man beispielsweise die Ungleichung

LaTeX: \frac{x+3}{x-2} < 2

gerne mit LaTeX: x-2 multiplizieren, aber es ist nicht bekannt, ob LaTeX: x>2 oder LaTeX: x<2 gilt (der Fall LaTeX: x=2 ist auszuschließen, da dann die linke Seite der Ungleichung nicht einmal definiert wäre). Falls LaTeX: x>2 gilt, ergibt sich also LaTeX: x+3 < 2x-4, im Fall LaTeX: x<2 dagegen LaTeX: x+3 > 2x-4. Somit ist die gegebene Ungleichung insgesamt äquivalent zu

LaTeX: (x > 2 \text{ und } x + 3 < 2x - 4) \text{ oder } (x < 2 \text{ und } x + 3 > 2x - 4)

dies wiederum zu

LaTeX: (x > 2 \text{ und } 7 < x) \text{ oder } (x < 2 \text{ und } 7 > x).

insgesamt also

LaTeX:  x < 2 \text{ oder } x > 7.

Anstatt die logischen Kombinationen wie hier im Hinblick auf die Äquivalenz gemeinsam abzuhandeln, ist es üblich, die Fälle nacheinander und getrennt zu bearbeiten und am Ende zusammenzufassen.

Notation

Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Äquivalenzpfeil ⇔ (Unicode U+21D4) bezeichnet. Angewendet auf obiges Beispiel also:

LaTeX: x+5=7 \Leftrightarrow x=2\!

Darstellung der Umformungsoperation: Insbesondere in der Schulmathematik wird bei Äquivalenzumformungen oft mit einem senkrechten Strich hinter der (Un-)Gleichung dargestellt, welche Operation als nächste auf beide Seiten der (Un-)Gleichung angewendet werden soll. Die obigen Beispiele schreiben sich dann in der Form

LaTeX: x+5=7\;\;\;\;\;\;\;\;|-5
LaTeX: x=2\;

bzw.

LaTeX: x>y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\cdot (-5)
LaTeX:  -5x < -5y\; .

Siehe auch

Weblinks


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Äquivalenzumformung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.