Taylorreihe

Eine Taylorreihe, benannt nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor (1685-1731), ist eine Potenzreihe, die verwendet wird, um eine glatte Funktion $f(x)$, die nicht durch elementare mathematische Operationen (→ Grundrechenarten) berechnet werden kann (z.B. Exponentialfunktionen, Logarithmen, Trigonometrische Funktionen), als unendliche Summe von Potenzen darzustellen. Die Reihenentwicklung an der Entwicklungsstelle $a$ bezeichnet man als Taylor-Entwicklung der Funktion. Für den Spezialfall $a=0$ wird die Taylorreihe auch Maclaurinsche Reihe oder Maclaurin-Reihe genannt.

Definition

Innerhalb eines offenen Intervalls $I\subset \mathbb{ℝ}$ sei eine Funktion $f:I\to \mathbb{ℝ}$ und eine Entwicklungsstelle $a$ gegeben. Die Funktion kann dann an der Entwicklungsstelle wie folgt in eine Taylorreihe entwickelt werden:

$Tf(x;a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2}(x-a{)}^2+\dots$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f^{(n)} bedeutet dabei die $n$-te Ableitung der Funktion und $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$ die Fakultät von $n$.